[学习笔记] 生成函数

生成函数学习笔记

普通生成函数#

定义#

我们定义序列$<a>$的普通生成函数为

$$\sum_na_nx^n$$

运算#

设序列$<a>,<b>$的生成函数分别为$F(x),G(x)$，我们定义加法

$$F(x)+G(x)=\sum_n(a_n+b_n)x^n$$

这就是说，$F(x)+G(x)$是序列$<a+b>$的生成函数.

我们定义乘法为他们的卷积

$$F(x)G(x)=\sum_nx^n\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}$$

即$F(x)G(x)$是序列$\langle\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}\rangle$的生成函数.

一些有趣的trick#

在生成函数的定义下，设$\langle1,1,1...\rangle$的生成函数为$F(x)$，我们有

$$F(x)x+1=F(x)$$

我们怎么理解这件事？先考虑$F(x)x$所对应的原序列为$\langle 0,1,1,1,1,\rangle$，想要变回原序列，我们只需让这个序列的零次项系数变为$1$，也就是$+1$即可.

由上式，我们可以得到

$$F(x)=\frac{1}{1-x}$$

类似地，我们可以得到等比数列$\langle 1,p^2,p^3,p^4...\rangle$的生成函数$G(x)$满足

$$G(x)px+1=G(x) \\G(x)=\frac{1}{1-px}$$

这是生成函数的常见手段.

麦克劳林展开#

通过麦克劳林展开可以计算生成函数.，计算公式如下:

$$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{i!}x^n$$

其中$f^{n}(0)$表示$f(x)$在$x_0=0$处的$n$阶导数.利用麦克劳林展开，我们可以快速计算.

广义二项式#

反转上指标#

所谓反转上指标，级考虑组合数中出现负数时，我们将其变为正数.下面给出公式.

$$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=(-1)^m\begin{pmatrix}m-n-1\\m\end{pmatrix}$$

广义二项式定理#

$$\forall a,b,n\in\R,(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}a^ib^{n-i}$$

值得指出的是当$n\notin\Z^+$时，$i$无法求和到$n$，所以$i$将求和到$+\infty$.

利用上述工具，用生成函数解体变得轻而易举.