[学习笔记] 斯特林数[待续]

斯特林数

第二类斯特林数#

我们记 $\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$或者$S(n,k)$为$n$个两两不同的元素，划分为$k$个两两不同的非空子集的方案数.

递推式#

根据定义，我们很容易可以得到一个递推式

$$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}$$

其中，递推边界是

$$\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=1]$$

证明#

考虑用它的组合意义来证明。在放入一个新的元素时，有两种情况

• 将新的元素放入原有的$k$个集合中，方案数$k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}$

• 将新的元素放入一个新的集合，方案数$\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}$

所以，根据加法原理，我们可以得到上述结论.

一些性质#

性质一

$$m^n=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\times i!\times\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}=\sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}m^{\underline i}\tag 1$$

这里，我们给出上升幂和下降幂的定义:

我们记$x$的$n$阶上升幂$x^{\overline n}$表示

$$x^{\overline n}=\prod_{i=0}^{n-1}x+i$$

$x$的$n$阶下降幂表示

$$x^{\underline n}=\prod_{i=0}^{n}x-i$$

我们考虑计算(1)式，首先$m^n$可以表示将$n$个元素放入$m$个集合的方案数，并且允许存在空集$\emptyset$.

通项公式#

我们先给出它的通项公式，随后证明

$$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}$$

考虑容斥，我们记将$n$个元素放入$k$个集合中（允许$\emptyset$存在）的方案数为$G_i$,将$n$个两两不同的元素，划分到$k$个两两不同的非空集合（不允许空集）的方案数为$F_i$.