[学习笔记] MillerRabbin

素数

Miller-Rabbin算法#

作用：在$O(1)$时间内判断一个数是否是素数.

根据费马小定理，即若$a,p\in\mathbb{Z^+},a\perp p$，则$a^{p-1}\equiv1(\mod p)$，我们可以在$[2,n)$中随机选取若干个数，判断是否成立.一般选择$8$个.

但是存在一类和数，在$[2,n)$中任意的整数$a$都满足上述式子，所以我们要对上述式子进行一个改进，使它拥有一个更高的正确率.

引理#

如果$p$是奇素数，则$x^2\equiv1(\mod p)$的解为$x\equiv 1(\mod p)$或$x\equiv p-1(\mod p)$.

证明易证.

我们考虑一个整数$a$来对$n$进行Miller Rabin验证. 设$n-1=p\cdot2^q$，则我们先算出$a^p$，然后再不断自乘，并在此过程中用引理进行验证.