[学习笔记] tarjan

强连通分量学习笔记

一些定义#

有向图DFS生成树有且仅有一下四类边：

• 树边tree edge：在上图中是黑色的边，每次搜索还没有访问过的结点时经过的边即为树边.
• 回边back edge：在上图中为红色($7\rightarrow1$)，即指向搜索树中指向已经访问过的结点的边
• 兄弟边brother edge：指向已经访问过，但不是祖先的结点，在上图中为蓝色($9\rightarrow7$)
• 前向边forward edge：不是树边，回边，兄弟边的边($3\rightarrow6$)

一个小性质#

如果结点$u$是极大强连通子图$G'$在DFS搜索树上第一个搜到的结点，那么$G'$的其他节点一定在以$u$为根的子树中，我们称结点$u$为强连通分量$G'$的根.

简单证明一下上面这个结论，考虑反证法. 若$u$的子树的结点集合为$T$，假设$\exist v\in G'v, s.t.v\notin T$,则$u\rightarrow v$的路径中，必然存在一条边直线$u$的祖先或者其他子树，也就是说这条边必然是回边或者兄弟边，那么$v$一定比$u$先访问到，这与假设矛盾，所以原命题成立.

Tarjan算法求强连通分量#

我们维护下面两个变量

• $dfn_u$：进行DFS深度优先遍历时$u$是第几个被遍历到的
• $low_u$：能回溯到的最早的已经在搜索栈的结点. 具体地说，$low_u$定义为以下结点中$dfn$的最小值
• 1. 以$u$为根的子树中的结点
  2. 通过以$u$为根的子树能够通过非树边到达的所有结点

按照深度优先搜索的顺序DFS序，对于一条边$u\rightarrow v$，我们分以下情况讨论

• 树边：继续遍历$v$的子树，并$low_u\leftarrow \min\{low_u,low_v\}$

• 回边：$low_u\leftarrow \min\{low_u,dfn_v\}$

若存在一个结点$u$满足$dfn_u = low_u$，则$u$是一个强连通分量的根节点.

Tarjan 算法与无向图连通性#

定义#

给定无向连通图$G=(V,E)$

• 对于结点$x\in E$，如果删除$x$和它所连的边后，$G$不再连通，我们称$x$是无向连同图$G$的一个割点

• 对于边$y\in V$，如果删除$y$后，$G$不再连同，我们称$y$是无向连通图$G$的桥

桥的判定法则#

无向边$x\rightarrow v$是桥，当且仅当$y$为搜索树上$x$的一个子结点，满足

$$dfn_x<low_y$$

证明很容易，这里不再证明

割点的判定法则#

同理.