数据结构学习小记-树

树

1.一种非线性结构，属于图均属于非线性结构。

2. 树是由结点或顶点和边组成的，不存在任何环的结构，没有结点的树称为空，null,一棵非空的树包括一个根节点，还有很多附加结点，所有结点构成一个多级分层结构。

3. 树的定义：n个节点组成的有限集合。n=0，空树；n>0,1个根节点，m个互不相交的有限集，每个子集为根的子树。

4. 节点的度：树中某个节点的子树的个数；树的度：树中各节点的度的最大值；分支节点：度不为零的节点；叶子节点：度为0的节点；路径：i>j；路径长度；路径经过节点数目减一；孩子节点：某节点的后继结点；双亲节点：该节点为其孩子节点的双亲节点（父母节点）；兄弟节点：同一双亲的孩子节点；子孙节点：某节点所有子树中的节点；祖先节点：从树节点到该节点的路径上的节点；

5. 节点的层次：根节点为第一层（以此类推）；树的高度；树中节点的最大层次；有序树：树中节点子树按次序从左向右安排，次序不能改变；无序树；与之相反；森林：互不相交的树的集合。

6. 树的性质：树的节点树为所有节点度数加1（加根节点）；度为m的树中第i层最多有m^{(i-1)个节点；高度为h的m次树至多有（m}h-1)/(m-1)个节点；具有n个节点的m次树的最小高度为logm(n(m-1)+1)向上取整。

二叉树

1. 二叉树是n个节点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树组成。每一个节点最多拥有一个左节点和一个右节点，并没有多余的节点；

2. 二叉树的特点：每个节点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点。左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意点颠倒；即使树中某节点只有一棵子树，也要区分是左子树还是右子树；

3. 性质：二叉树的第i层上的节点数目最多为2^{(i-1)个节点；深度为k的二叉树至多有2}k -1 个节点；包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)；在任意一棵二叉树中，若终端节点的个数为n0,度为2的节点树为n2,则n0 = n2+1；

几种特殊的二叉树

1. 斜树：

   • 所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有节点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。统称为斜树。

2. 满二叉树：

   • 在一棵二叉树中，如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。所有叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡；非叶子节点的度一定是2；在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子树最多；

3. 完全二叉树：

   • 对一颗具有n个节点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

二叉树的存储

1. 一颗二叉树的结点设计一定要有如下内容：

   • 结点元素，data域，用来存储数据，其可以是int，char等基本的类型，同时也可以是struct等这些复杂的复合数据类型。

   • 左孩子结点，left指针，总是用来指向当前结点的下一层的左边结点，其属于一种指针。

   • 右孩子结点，right指针，总是用来指向当前结点的下一层的右边结点，其属于一种指针。

   • 父结点（可选),parent指针，总是指向当前结点的前一个结点，简称父亲结点，其不属于必须结点设计，省略掉可以节省内存的效果，而使用则可以更方便进行定向搜索，以上就是一颗二叉树的结点设计，除此之外，我们使用一棵树的时候需要建立一颗树根，由这个“根”，来进行逐步的向下构建。

   typedef struct node{
   	int data;
   	struct node* left;
   	struct node* right;
   } Node;
   
   //树根
   typedef struct {
   	Node* root;
   } Tree;
   

2. 树的创建：

   • 首先，我们创建一个空的结点再进行连接，首先将这个空的结点中的data域赋予数据，再判断tree中是否是一个空树，如果为空，只需要将整个根指向这一个结点即可，如果不为空，再进行两个判断.

3. 树的遍历之先序遍历二叉树：

   • 树作为非线性数据结构，在我们取出数据时就需要设计遍历，所谓遍历，就是按照一定的规则性，将数据结构中的所有数据全部依次访问，而二叉树本身并不具有天然的全局次序，故为实现遍历，需通过在各节点与其孩子之间约定某种局部次序，间接地定义某种全局次序，这便是我们常规定的先序，中序，后序遍历。

   先序遍历：根左右

   中序遍历：左根右

   后序遍历：左右根

   1. 先序遍历就是在访问二叉树的结点的时候采用，先根，再左，再右的方式

4. DFS深度优先搜索
   a. 是一种用于遍历或搜索树或图的算法。沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过或者在搜寻时结点不满足条件，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。而即使对于一颗深度为n的二树，在没有任何优化的情况下适用DFS去搜索访问数据，其算法的时间复杂度也高达O（2^n），在数据较大的情况下DFS是无法满足程序的时间要求，这就会涉及到一个思路——剪枝，即通过现有的数据判断接下来的数据无法再满足解，直接将当前结点以后的所有数据舍弃，遍历不再访问，通过精心设计的剪枝可以使得DFS搜索的效果得到很大提升。

5. 哈夫曼树
   a. 又名最优二叉树，给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。
   b. 相关名词：结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为结点的权。结点的带权路径长度：指的是从根节点到该节点之间的路径长度与该结点的权的乘积。树的带权路径长度为树中所有子节点的带权路径长度之和。通常记作"WPL"。
   c. 构建哈夫曼树：只需要遵循一个原则，那就是权重越大的结点距离树根越近。首先，选出我们数据中最小的两个数据，构建成二叉树的左孩子和右孩子，而根的数据为两者之和。其次，将刚才合成的数据作为右孩子，左孩子从未处理的数据中选出最小的一个，作为左孩子，他们的根同样为左右孩子的权值和。不断重复上述的步骤，直到将所有的数据全部处理完并构建出二叉树，这棵二叉树就是我们的哈夫曼树。