浅谈差分约束系统——图论不等式的变形

浅谈差分约束系统——图论不等式的变形

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一．定义

如若一个系统由n个变量和m个不等式组成，并且这m个不等式对应的系数矩阵中每一行有且仅有一个1和-1，其它的都为0，这样的系统称为差分约束( difference constraints )系统。

二．分析

简单来说就是给你n个变量，给m个形如x[i]-x[j]≥k①或x[i]-x[j]≤k②。求两个变量差的最大与最小值。我们可以对不等式稍稍变形，将①变为k+aj≤ai,②变为ai+(-k)≤aj。不难发现，这和我们的最短路问题中的不等式dis[i]+w[i,j]≤dis[j]极为相似。

最大值

那么，如果题目要求我们求出某两点之间的最大距离，我们可以这样：

1. 对于x[i] - x[j]≤a[k]，我们可以建一条由j到i的有向边，权值为k
2. 对于x[i] - x[j]≥a[k]，我们可以建一条由i到j的有向边，权值为-k

并进行如下判断。

1. 如果存在最短路径可以到达这两点，答案就是最短路的长度。
2. 如果不存在路径可以到达，那么两点间的距离可以是无限大。
3. 如果图中存在负环，那么就无解。

最小值

如果题目要求求出两点间的最小距离，我们就建立形如x[i]-x[j]≥k,建立i到j，权值为k的路，求的最长路径。判断也跟上面一样，不过是判有没有正环。

 

下面来附上一道典型例题 POJ3169

#include<queue>
#include <algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define Pair pair<int,int>
#define MAXN 1000+1
#define MAX 99999999
#define MAXM 40000+1
using namespace std;
int n,m1,m2,num,nnum,head[MAXN],s,o,pre[MAXN],v[MAXN],K;
int dis[MAXN],t[MAXN],ans=MAX;
struct Edge{
    int next,to,exi,from;
    int dis,cost;
}edge[MAXM];
int read()
{
    int in=0;char c;
    c=getchar();
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar());
    for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) in=in*10+c-'0';
    return in;
}
void add(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num].next=head[from];
    edge[num].to=to;
    edge[num].dis=dis;
    edge[num].from=from;
    head[from]=num;
}
int spfa()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
     dis[i]=99999999;
    queue<int> q;
    dis[s]=0;t[s]++;
    q.push(s);
    while(q.size()>0)
    {
        int k=q.front();q.pop();
        v[k]=0;
        for(int i=head[k];i;i=edge[i].next)
        {
            if(dis[edge[i].to]>dis[k]+edge[i].dis)
            {
                dis[edge[i].to]=dis[k]+edge[i].dis;
                t[edge[i].to]++;
                if(t[edge[i].to]>n) return 1;
                if(!v[edge[i].to]) v[edge[i].to]=1,q.push(edge[i].to);
                
            }
        }
    }
    return 0;
} 

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);
    int a,b,c;
    for(int i=1;i<=m1;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c); 
    }
    for(int i=1;i<=m2;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(b,a,-c);
    }s=1;
    if(spfa()) 
    {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    if(dis[n]==99999999) printf("-2\n");
    else printf("%d\n",dis[n]);
    return 0;
}

题目大意就是个一些约束条件求最大值，只要按着方法去建模，判断，就可以出解。

三．其他

         差分约束还分线性约束，区间约束与未知条件的约束。但本质上就是一样的，都是建立最短路模型来求解。关于未知条件的约束的题目，也是枚举k的大小求解。在这里也不再多说，毕竟是浅谈差分约束。