树和二叉树简介

一、树

1、什么是树？

树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点；没有父节点的节点称为根节点；每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：

（1）每个元素称为结点（node）；

（2）有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。

（3）除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。

2、相关术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二、二叉树

1、什么是二叉树？

二叉树，就是度不差过2的树（节点最多有两个叉）

三、两种特殊的二叉树

1、满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

2、完全二叉树

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树

三、二叉树的存储方式

1、链式存储方式

a、二叉树的链式存储：将二叉树的节点定义为一个对象，节点之间通过类似链表的链接方式来连接。

b、节点定义

class BiTreeNode:
    def __init__(self,data):  #data就是传进去的节点的值
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

c、二叉树的遍历：

I 、先（前）序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前

　具体操作：若二叉树非空，则依次执行如下操作：

⑴ 访问根结点；
⑵ 遍历左子树；
⑶ 遍历右子树。

II、中序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

具体操作：若二叉树非空，则依次执行如下操作：

⑴遍历左子树；
⑵访问根结点；
⑶遍历右子树。

III、后序遍历：访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

若二叉树非空，则依次执行如下操作：

⑴遍历左子树；
⑵遍历右子树；
⑶访问根结点。

IV、层次遍历

用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。

二叉树的遍历代码如下

from collections import deque   #双向队列
from queue import Queue    #单向队列

# import queue
# q = queue.Queue()
# q.put('ggg')
# q.get()
class BiTreeNode:
    def __init__(self,data):
        self.data = data
        self.lchild = None
        self.rchild = None

    @classmethod
    def pre_order(self,root):
        '''前序遍历(根左右)'''
        if root: #如果有根节点
            print(root.data,end='')
            self.pre_order(root.lchild)
            self.pre_order(root.rchild)

    @classmethod
    def in_order(self,root):
        '''中序遍历(左根右)'''
        if root:
            self.in_order(root.lchild)
            print(root.data,end='')
            self.in_order(root.rchild)

    @classmethod
    def out_order(self, root):
        '''后序遍历(左右根)'''
        if root:
            self.out_order(root.lchild)
            self.out_order(root.rchild)
            print(root.data, end='')

    @classmethod
    def level_order(self,root):
        '''层次遍历(第一层，第二层，第三层...借助队列来实现)'''
        queue = deque()
        queue.append(root)
        while len(queue) > 0:
            node = queue.popleft()
            print(node.data,end='')
            if node.lchild:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild:
                queue.append(node.rchild)



#创建二叉树
a = BiTreeNode("A")
b = BiTreeNode("B")
c = BiTreeNode("C")
d = BiTreeNode("D")
e = BiTreeNode("E")
f = BiTreeNode("F")
g = BiTreeNode("G")
e.lchild = a
e.rchild = g
a.rchild = c
c.lchild = b
c.rchild = d
g.rchild = f
root = e

#查看前序遍历的结果
BiTreeNode.pre_order(root)   #EACBDGF
print('')
BiTreeNode.in_order(root)    #ABCDEGF
print('')
BiTreeNode.out_order(root)  #BDCAFGE
print('')
BiTreeNode.level_order(root)  #EAGCFBD

2、顺序存储方式

如上图二叉树标出了元素所对应的索引，那么可以有一下结论

1、父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系？

如果已知父亲节点为i，那么他的左孩子节点为2i+1

2、父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系?

3、反过来知道孩子找父亲

(n-1)/2=i  # 左孩子求父节点
(n-2)/2=i  # 右孩子求父节点
(n-1)//2 = i # 左右孩子均可

四、二叉搜索树

1、定义

二叉搜索树是一棵二叉树且满足性质：设X是二叉树的一个节点。如果Y是X左子树的一个节点，那么Y.key <=X.key;

如果Y是X右子树的一个节点，那么Y.key>= X.key (X.key代表X节点对应的值)

通俗的说也就是若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

2、原理

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

3、二叉搜索树的创建

可参考链接：https://visualgo.net/en/bst

4、二叉搜索树的遍历

5、二叉搜索树的查询、插入、删除

插入：