聊聊斐波那契数列中递归的重复计算

聊聊斐波那契数列中递归的重复计算

Table of Contents

• 1. 递归实现
• 2. 递归改进
• 3. 迭代法

所谓的斐波纳契数列是指：

前2个数是 0 和 1 。
第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和。
斐波纳契数列的前10个数字是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

1 递归实现

根据定义，很快就能写出递归实现：

public int fibonacci(int n) {
    if (n < 2) {return 0;}
    if (2 == n) {return 1;}

    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

但是，这个函数去执行的时候，会发现非常的慢。那是什么原因呢？
我们仔细观察一下，每一次递归的时候，我们都会调用两个，所以，计算时，从n、n-1、… 0会是一个金字塔，二叉树的分布，也就是靠近0的底层，会有2^n次运算，就是一个指数级运算，计算时间复杂度为O(2^n),运算速度是非常慢的。
原因是什么呢？假如，我们计算的是10，那么它相应的要计算 9 + 8，而9要计算 8 + 7， 8又要计算 7 + 6.相当于越往底层去，计算的次数越多。

    10
   /  \
  9    8
 / \  / \
8   7 7  6
    ...

2 递归改进

那么避免重复计算的方法就是，每计算得到一个值，便用一个数组保存这个值，下次计算该值的时候直接引用就可以了。

public int fibonacci(int n) {
    int[] array = new int[n + 1];

    if (n < 2) {return 0;}
    if (2 == n) {return 1;}
    array[1] = 0;
    array[2] = 1;

    return helper(array, n);
}

private int helper(int[] array, int n) {
    if (n < 2) {
        return 0;
    }
    if (2 == n) {
        return 1;
    }
    array[n] = helper(array, n - 1) + array[n - 2]; // 保存每次计算的结果
    return array[n];
}

但这种方法不是尾递归的，所以，调用栈内存会比较多。

3 迭代法

用迭代法来计算是最简单，速度也最快的。

public int fibonacci(int n) {
    int[] array = new int[n + 1];

    if (n < 2) {return 0;}
    if (2 == n) {return 1;}
    array[1] = 0;
    array[2] = 1;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        array[i] = array[i - 1] + array[i - 2];
    }

    return array[n];

}

Date: 2017-07-02 10:55

Author: WEN YANG

Created: 2017-07-02 Sun 13:01

Emacs 25.2.1 (Org mode 8.2.10)

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