数据结构非线性表之树

树的定义

　　树(Tree)是 n(n≥0)个相同类型的数据元素的有限集合。树中的数据元素叫 结点(Node)。n=0 的树称为空树(Empty Tree)；对于 n＞0 的任意非空树 T 有：

（1）有且仅有一个特殊的结点称为树的根(Root)结点，根没有前驱结点；

（2）若n＞1，则除根结点外，其余结点被分成了m(m＞0)个互不相交的集合 T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti(1≤i≤m)本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm 称为这棵树的子树(Subtree)。

　　由树的定义可知，树的定义是递归的，用树来定义树。因此，树（以及二叉 树）的许多算法都使用了递归。

　　树的形式定义为：树(Tree)简记为 T，是一个二元组， T = (D, R)

　　其中：D 是结点的有限集合；

　　　　   R 是结点之间关系的有限集合。

 

图 5.1 是一棵具有 10 个结点的树，即T={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}。

 

 树的相关术语

树的相关术语有以下一些：

　　1、结点(Node)：表示树中的数据元素，由数据项和数据元素之间的关系组 成。在图 5.1 中，共有 10 个结点。

　　2、结点的度(Degree of Node)：结点所拥有的子树的个数，在图 5.1 中，结 点 A 的度为 3。

　　3、树的度(Degree of Tree)：树中各结点度的最大值。在图 5.1 中，树的度为 3。

　　4、叶子结点(Leaf Node)：度为 0 的结点，也叫终端结点。在图 5.1 中，结 点 E、F、G、H、I、J 都是叶子结点。

　　5、分支结点(Branch Node)：度不为 0 的结点，也叫非终端结点或内部结点。 在图 5.1 中，结点 A、B、C、D 是分支结点。

　　6、孩子(Child)：结点子树的根。在图 5.1 中，结点 B、C、D 是结点 A 的 孩子。

　　7、双亲(Parent)：结点的上层结点叫该结点的双亲。在图 5.1 中，结点 B、C、 D 的双亲是结点 A。

　　8、祖先(Ancestor)：从根到该结点所经分支上的所有结点。在图 5.1 中，结 点 E 的祖先是 A 和 B。

　　9、子孙(Descendant)：以某结点为根的子树中的任一结点。在图 5.1 中，除 A 之外的所有结点都是 A 的子孙。

　　10、兄弟(Brother)：同一双亲的孩子。在图 5.1 中，结点 B、C、D 互为兄弟。

　　11、结点的层次(Level of Node)：从根结点到树中某结点所经路径上的分支 数称为该结点的层次。根结点的层次规定为 1，其余结点的层次等于其双亲结点 的层次加 1。

　　12、堂兄弟(Sibling)：同一层的双亲不同的结点。在图 5.1 中，G 和 H 互为 堂兄弟。

　　13、树的深度(Depth of Tree)：树中结点的最大层次数。在图 5.1 中，树的深 度为 3。

　　14、无序树(Unordered Tree)：树中任意一个结点的各孩子结点之间的次序构 成无关紧要的树。通常树指无序树。

　　15、有序树(Ordered Tree)：树中任意一个结点的各孩子结点有严格排列次序 的树。二叉树是有序树，因为二叉树中每个孩子结点都确切定义为是该结点的左 孩子结点还是右孩子结点。

　　16、森林(Forest)：m(m≥0)棵树的集合。自然界中的树和森林的概念差别很 大，但在数据结构中树和森林的概念差别很小。从定义可知，一棵树有根结点和 m 个子树构成，若把树的根结点删除，则树变成了包含 m 棵　　　　树的森林。当然，根 据定义，一棵树也可以称为森林。

树的基本操作

　　树的操作很多，比如访问根结点，得到结点的值、求结点的双亲结点、某个 子结点和某个兄弟结点。

　　树的基本操作通常有以下 10 种：

　　1、Root()：求树的根结点，如果树非空，返回根结点，否则返回空；

　　2、Parent(t)：求结点 t 的双亲结点。如果 t 的双亲结点存在，返回双亲结点， 否则返回空；

　　3、Child(t,i)：求结点 t 的第 i 个子结点。如果存在，返回第 i 个子结点，否 则返回空；

　　4、RightSibling(t)：求结点 t 第一个右边兄弟结点。如果存在，返回第一个 右边兄弟结点，否则返回空；

　　5、Insert(s,t,i)：把树 s 插入到树中作为结点 t 的第 i 棵子树。成功返回 true， 否则返回 false；

　　6、Delete(t,i)：删除结点 t 的第 i 棵子树。成功返回第 i 棵子树的根结点，否 则返回空；

　　7、Traverse(TraverseType)：按某种方式遍历树；

　　8、Clear()：清空树；

　　9、IsEmpty()：判断树是否为空树。如果是空树，返回 true，否则返回 false；

　　10、GetDepth()：求树的深度。如果树不为空，返回树的层次，否则返回 0。