NOIP2017D2T3 列队—Treap
NOIP2017列队
Description
Sylvia 是一个热爱学习的女孩子。
前段时间，Sylvia 参加了学校的军训。众所周知，军训的时候需要站方阵。 Sylvia所在的方阵中有n × m名学生，方阵的行数为 n，列数为m。
为了便于管理，教官在训练开始时，按照从前到后，从左到右的顺序给方阵中的学生从 1 到 n × m 编上了号码（参见后面的样例）。即：初始时，第 i 行第 j 列的学生的编号是(i−1)×m+j。
然而在练习方阵的时候，经常会有学生因为各种各样的事情需要离队。在一天中，一共发生了 q 件这样的离队事件。每一次离队事件可以用数对(x, y) (1≤x≤n, 1≤y≤m)描述，表示第 x 行第 y 列的学生离队。
在有学生离队后，队伍中出现了一个空位。为了队伍的整齐，教官会依次下达这样的两条指令：
1. 向左看齐。这时第一列保持不动，所有学生向左填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 x 行第 m 列。
2. 向前看齐。这时第一行保持不动，所有学生向前填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 n 行第 m 列。
教官规定不能有两个或更多学生同时离队。即在前一个离队的学生归队之后，下一个学生才能离队。因此在每一个离队的学生要归队时，队伍中有且仅有第 n 行第 m 列一个空位，这时这个学生会自然地填补到这个位置。
因为站方阵真的很无聊，所以 Sylvia 想要计算每一次离队事件中，离队的同学的编号是多少。
注意：每一个同学的编号不会随着离队事件的发生而改变，在发生离队事件后方阵中同学的编号可能是乱序的。
Input
输入共 q+1 行。
第1 行包含 3 个用空格分隔的正整数 n, m, q，表示方阵大小是 n行 m 列，一共发生了q 次事件。
接下来 q 行按照事件发生顺序描述了 q 件事件。每一行是两个整数 x, y，用一个空格分隔，表示这个离队事件中离队的学生当时排在第 x 行第 y 列。
Output
按照事件输入的顺序，每一个事件输出一行一个整数，表示这个离队事件中离队学生的编号。
Sample Input
2 2 3
1 1
2 2
1 2
Sample Output
1
1
4
HINT
【样例解释】
列队的过程如上图所示，每一行描述了一个事件。
在第一个事件中，编号为 1 的同学离队，这时空位在第一行第一列。接着所有同学向左标齐，这时编号为 2 的同学向左移动一步，空位移动到第一行第二列。然后所有同学向上标齐，这时编号为 4 的同学向上一步，这时空位移动到第二行第二列。最后编号为1 的同学返回填补到空位中。
【数据规模】
数据保证每一个事件满足 1≤x≤n,1≤y≤m。
| 测试点编号 | n | m | q | 其他约定 |
| 1,2,3,4,5,6 | <=1000 | <=1000 | <=500 | 无 |
| 7,8,9,10 | <=5*104 | <=5*104 | ||
| 11,12 | =1 | <=105 | <=105 | 所有事件x=1 |
| 13,14 | <=3*105 | <=3*105 | ||
| 15,16 | <=3*105 | |||
| 17,18 | <=105 | <=105 | <=105 |
无 |
| 19,20 | <=3*105 | <=3*105 | <=3*105 |
思路
这道题的前三十分暴力似乎很好写，就是模拟，我在赛场上也就写了这三十分，等到前两天学习平衡树后，才知道这道题用平衡树是那么好写，在这里我说一下我的思路。
看题目描述，我们易知，这道题的难点就是查询和每一行添加学生，我们可以开n+1个平衡树，维护出来当前每一行和最后一列的编号，每一次查询的时候，如果不在最后一列我们就可以在前n个平衡树里寻找，再第x可线段树中找到第y个就是答案，再在最后一列中找到第x个，插入到第x课平衡树里就可以啦，再把答案直接就添加到最后一列的平衡树里就好了，如果查询是在最后一列里面，直接进行最后两行就好了。我们分析一下时间复杂度，O(qlogn)是不是十分优秀，但我们再分析一下空间复杂度n*m，直接懵逼，MLE。
我们再仔细分析，发现有些同学的左右同学可能这辈子也不变，那我们是不是就可以把他们合成一个节点，记录一下这一个大节点的序号的左端点和右端点是谁，这样我们就可以把空间复杂度降下来了，均摊q。是不是甚好？但是查询就又出现问题了，我们可以根据在当前节点的第几个直接查询到，但删除这同学怎么办？我们是不是可以把这个大节点分裂成三个节点？分裂成答案同学的左半部分，答案同学和答案同学的右半部分，这三部分，删除的时候直接删除答案同学是不是就可以了？但记住原来的大节点也一定要删除！！！这就是这道题的思路。最后还要说一下，Treap最好用结构体，因为常数会比较小，代码会跑的更快。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define Q 3000001
#define N 300010
#define update(p) treap[p].size=treap[treap[p].lson].size+treap[treap[p].rson].size+treap[p].to-treap[p].from+1
struct Treap
{
int lson,rson,ord,size;
long long from,to;
}treap[Q];
int root[N];
int n,m,q;
int place,idx;
long long ans;
char nc()
{
static char buf[100000],*p1,*p2;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int rd()
{
register int x=0;char s=nc();
while(s<'0'||s>'9')s=nc();
while(s>='0'&&s<='9')x=x*10+s-'0',s=nc();
return x;
}
void lturn(int &p)
{
if(!treap[p].rson) return;
int tmp=treap[p].rson;
treap[p].rson=treap[tmp].lson,treap[tmp].lson=p;
treap[tmp].size=treap[p].size,update(p),p=tmp;
}
void rturn(int &p)
{
if(!treap[p].lson) return;
int tmp=treap[p].lson;
treap[p].lson=treap[tmp].rson,treap[tmp].rson=p;
treap[tmp].size=treap[p].size,update(p),p=tmp;
}
void add(int &p,long long f,long long t)
{
if(!p)
{
p=++idx;
treap[p].from=f,treap[p].to=t;
treap[p].ord=rand(),update(p);
return;
}
add(treap[p].rson,f,t);
update(p);
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
}
void del(int &p,int order)
{
if(!p) return;
if(p==order)
{
if(treap[p].lson*treap[p].rson==0) p=treap[p].lson+treap[p].rson;
else if(treap[treap[p].lson].ord<treap[treap[p].rson].ord) rturn(p);
else if(treap[treap[p].rson].ord<=treap[treap[p].lson].ord) lturn(p);
del(p,order);
return;
}
if(treap[p].lson==order) del(treap[p].lson,order);
if(treap[p].rson==order) del(treap[p].rson,order);
update(p);
}
void find_ans(int &p,int x)
{
if(!p) return;
if(treap[treap[p].lson].size>=x)
{
find_ans(treap[p].lson,x),update(p);
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
return;
}
else if(treap[p].size-treap[treap[p].rson].size<x)
{
find_ans(treap[p].rson,x-treap[p].size+treap[treap[p].rson].size),update(p);
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
return;
}
x-=treap[treap[p].lson].size,ans=treap[p].from+x-1;
if(x==1&&x==treap[p].size-treap[treap[p].lson].size-treap[treap[p].rson].size)
{
del(p,p);
return;
}
if(x==1) treap[p].from++,update(p);
else if(x==treap[p].size-treap[treap[p].lson].size-treap[treap[p].rson].size)
treap[p].to--,update(p);
else
{
int tmp=++idx;
treap[tmp].to=treap[p].to;
treap[p].to=treap[p].from+x-2;
treap[tmp].from=treap[p].from+x;
treap[tmp].rson=treap[p].rson;
treap[p].rson=tmp;
update(tmp),update(p);
treap[tmp].ord=rand();
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
}
}
void find_ans2(int &p,int x)
{
if(!p) return;
if(treap[treap[p].lson].size>=x)
{
find_ans2(treap[p].lson,x),update(p);
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
return;
}
else if(treap[p].size-treap[treap[p].rson].size<x)
{
find_ans2(treap[p].rson,x-treap[p].size+treap[treap[p].rson].size),update(p);
if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
return;
}
ans=treap[p].from;
del(p,p);
}
int main()
{
srand(37975);
n=rd();m=rd();q=rd();
for(long long i=1;i<=n;i++)
add(root[i],(i-1)*m+1,(i-1)*m+m-1);
for(long long i=1;i<=n;i++)
add(root[n+1],i*m,i*m);
for(int i=1;i<=q;i++)
{
int a,b;
a=rd();b=rd();
if(b<m) find_ans(root[a],b);
else find_ans2(root[n+1],a);
long long tmp1=ans;
printf("%lld\n",tmp1);
if(b<m)
{
find_ans2(root[n+1],a);
long long tmp2=ans;
add(root[a],tmp2,tmp2);
}
add(root[n+1],tmp1,tmp1);
}
}
