伽马分布的伸缩性证明

特征函数

假设 \(p(x)\) 是随机变量 \(X\) 的密度函数，则 \(p(x)\) 傅里叶变换是：

\[\varphi (t) = \int _{-\infty }^{\infty} e^{itx} p(x) \mathrm{d}x = E(e^{itX}) \]

\(e^{it} = \cos t + i\sin t \qquad; E(e^{it}) = E(cos) + i E(sin)\) 其中 \(\varphi(x)=E(e^{itx})\) 称为 \(p(x)\) 的特征函数。

1. 离散型

\[\varphi(x) = \sum_{i=1}^{n} e^{itx}p(x) \]

2. 连续型

\[\varphi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x) \mathrm{d}x \]

根据数学期望的定义：

\[E(|x|)=\int _{-\infty }^{\infty} |x|p(x)\mathrm{d}x ∈(-\infty,+\infty) \]

那么特征函数的总是存在吗？

\[|e^{itx}|=1 \qquad \varphi (t) = \int _{-\infty }^{\infty} |e^{itx}| p(x) \mathrm{d}x = E(|e^{itX}|) < \infty \]

可见特征函数总是收敛的，数学期望也一定存在，故特征函数一定存在。

一些特征函数的性质

性质1:\(|\varphi(x)|≤\varphi(0)= 1\)

性质2:\(\varphi(-t) = \overline{\varphi(t)}\) 其中\(\overline{\varphi(t)}\) 表示 \(\varphi(t)\) 的共轭

性质3:若\(Y = aX + b\) ，其中 \(a,b\) 都是常数， 则

\[\varphi_Y(t) = E(e^{itY}) = E(e^{it(aX+b))}) =e^{itb}E(e^{itaX}) \]

性质4:独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积，假设\(x\) 与\(y\) 之间相互独立则有：

\[\varphi_{x+y}(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t) \]

性质5:...

指数分布的特征函数

\(p(x) = \lambda e^{-\lambda} \quad x≥0\) 所以它的特征函数为：

\[\varphi(x) = \int_{0}^{\infty} e^{itx}\lambda e^{-\lambda} \mathrm{d}x = \lambda [\int_{0}^{\infty}cos(tx)e^{\lambda x}\mathrm{d}x + i\int_{0}^{\infty}sin(tx)e^{\lambda x}\mathrm{d}x] = \lambda (\frac{\lambda}{\lambda^2 + t^2} + i\frac{t}{\lambda^2 + t^2}) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \]

伽马分布\(Ga(n,\lambda)\)的特征函数

假设 \(Y\sim Ga(n,\lambda)\) ，则 \(Y = X_1+X_2+X_3+\cdots+X_n\) 其中\(X_i\) 独立同分布，且 \(X_i\sim Ga(1,\lambda)\) ,则 \(X_i\) 的特征函数为

\[\varphi_{X_i}(t) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \]

有伽马函数的可加性和上面说到的性质4 \(\varphi_{x+y}(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t)\)

\[\varphi_{Y}(t) = \Pi_{i=1}^{n} \varphi_{X_i}(t) = (1-\frac{it}{\lambda})^{-n} \]

由性质3 \(\varphi_Y(t) = e^{itb}E(e^{itaX})\) 和伽马分布的特征函数 \(\varphi_{Y}(t)=(1-\frac{it}{\lambda})^{-n}\) 可以证明伽马分布的伸缩性\(X\sim Ga(n,\lambda) \qquad Y=\frac{1}{k}X \qquad Y\sim Ga(n,k\lambda)\)。 假设\(Y=\frac{1}{k}X\)

\[\varphi_{Y}(t) = e^{itb}E(e^{itaX}) = e^{it*0}E(e^{it\frac{1}{k}X})=1*\varphi_X(\frac{1}{k}t)=(1-\frac{it}{k\lambda})^{-n} \sim Ga(n,k\lambda) \]

的证#