Pytorch 3.1 Liner Regression

线性回归：

回归（regression）是指一类为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
线性回归：回归中最简单的一类模型。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量 \(𝐱\) 和因变量 \(𝑦\) 之间的关系是线性的，即 \(𝑦\) 可以表示为 \(𝐱\) 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set），每行数据（在这个例子中是与一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。我们要试图预测的目标（在这个例子中是房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用\(n\)来表示数据集中的样本数。对索引为\(i\)的样本，其输入表示为\(\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top\)，其对应的标签是\(y^{(i)}\)。

线性假设: 线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：\(\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.\) 中的\(w_{\mathrm{area}}\)和\(w_{\mathrm{age}}\)称为权重（weight），\(b\)称为偏置（bias），或称为偏移量（offset）、截距（intercept）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 𝐰 和偏置 𝑏 ，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含\(d\)个特征时，我们将预测结果\(\hat{y}\)（通常使用“尖角”符号表示估计值LaTeX中\bar{}）表示为：

\[\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b. \]

将所有特征放到向量\(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\)中，并将所有权重放到向量\(\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d\)中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

\[\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b. \]

向量\(\mathbf{x}\)对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵\(\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)可以很方便地引用我们整个数据集的\(n\)个样本。其中，\(\mathbf{X}\)的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合\(\mathbf{X}\)，预测值\(\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n\)可以通过矩阵-向量乘法表示为：

\[{\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b \]

这个过程中的求和将使用广播机制。 给定训练数据特征\(X\)和对应的已知标签\(y\)，线性回归的目标是找到一组权重向量\(𝐰\)和偏置\(𝑏\)。当给定从\(X\)的同分布中取样的新样本特征时，找到的权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

在我们开始寻找最好的模型参数（model parameters）\(\mathbf{w}\)和\(b\)之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本\(i\)的预测值为\(\hat{y}^{(i)}\)，其相应的真实标签为\(y^{(i)}\)时，平方误差可以定义为以下公式：

\[l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2. \]

常数\(\frac{1}{2}\)不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些，表现为当我们对损失函数求导后常数系数为1。由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。为了进一步说明，来看下面的例子。

由于平方误差函数中的二次方项，估计值\(\hat{y}^{(i)}\)和观测值\(y^{(i)}\)之间较大的差异将贡献更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集\(n\)个样本上的损失均值（也等价于求和）。

\[L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. \]

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（\(\mathbf{w}^*, b^*\)），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

\[\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b). \]

解析解(也就是我们常说的正规方程Normal Equation)

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置\(b\)合并到参数\(\mathbf{w}\)中。合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化\(\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2\)。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失最小值。将损失关于\(\mathbf{w}\)的导数设为0，得到解析解（闭合形式）：

\[\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}. \]

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解的限制很严格，导致它无法应用在深度学习里。

小批量随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量\(\mathcal{B}\) (抽取的数量)，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数\(\eta\)(学习率)，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（\(\partial\)表示偏导数）：

\[(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b). \]

总结一下，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

\[\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} \]

\(|\mathcal{B}|\)表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。\(\eta\)表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为\(\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}\)。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。幸运的是，出于某种原因，深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

用学习到的模型进行预测

给定学习到的线性回归模型\(\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}\)，现在我们可以通过给定的房屋面积\(x_1\)和房龄\(x_2\)来估计一个未包含在训练数据中的新房屋价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

我们将尝试坚持使用预测这个词。虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。

矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要(我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环)。

下面就是喜闻乐见的代码环节了，但是我们先来介绍下我们常用的计时器：

%matplotlib inline
import math
import time
import numpy as np
import torch
from d2l import torch as d2l

class Timer:
    def __init__(self):       #记录多次运行时间。
        self.times = [] 
        self.start() 
        
    def start(self):         #启动计时器
        self.tik = time.time() 
        
    def stop(self):          #停止计时
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]
    
    def avg(self):           #计时平均
        return sum(self.times)/len(self.times)
    
    def sum(self):           #计时总时长
        return sum(self.times)
    
    def cumsum(self):        #计时累计和
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

n = 10000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)

#for loop times: 
c = torch.zeros(n) 
timer = Timer() 
timer.start() 
for i in range(n): 
    c[i]=a[i]+b[i]
print(f'for循环计算：{timer.stop():.5f}s')

#矢量运算
timer.start()
d = a[i]+b[i]
print(f'矢量计算：{timer.stop():.5f}s')

输出：

for循环计算：0.07554s
矢量计算：0.00013s

正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。正态分布和线性回归之间的关系很密切。
简单的说，若随机变量\(x\)具有均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)（标准差\(\sigma\)），其正态分布概率密度函数如下：

\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right). \]

下面[我们定义一个Python函数来计算正态分布]。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

输出：

就像我们所看到的，改变均值会产生沿\(x\)轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

\[y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2). \]

因此，我们现在可以写出通过给定的\(\mathbf{x}\)观测到特定\(y\)的可能性（likelihood）：

\[P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right). \]

现在，根据最大似然估计法，参数\(\mathbf{w}\)和\(b\)的最优值是使整个数据集的可能性最大的值：

\[L(y) = P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}). \]

根据最大似然估计法选择的估计量称为最大似然估计量。
虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。
由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然\(-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)\)。由此可以得到的数学公式是：

\[-logL(y) = -\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2. \]

现在我们只需要假设\(\sigma\)是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于\(\mathbf{w}\)和\(b\)。现在第二项除了常数\(\frac{1}{\sigma^2}\)外，其余部分和前面介绍的平方误差损失是一样的。
幸运的是，上面式子的解并不依赖于\(\sigma\)。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的最大似然估计。

神经网络

所示的神经网络中，输入为\(x_1, \ldots, x_d\)，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为\(d\)。网络的输出为\(o_1\)，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。也就是说中神经网络的层数为1。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换称为全连接层（fully-connected layer），或称为稠密层（dense layer）。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。