TopCoder-SRM632-DIV1-300pt-PotentialArithmeticSequence-归纳推理+枚举

http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13389&rd=16075

比正常的简单题多了50分。说明比平时的简单题要难一些。

考虑输入规模，可以看出枚举并判断所有子序列是可行的。那么关键就是如何判断一个子序列是合法的。

先观察第一组测试用例{0,1,0,2,0,1,0}，可以看出其是0,b1,0,b2...这样交替的。显然两个相邻自然数是奇偶交替的，奇数的那些数字结尾只有0个0.

1）必要条件一：d[i]和d[i+1]必须是0和>0交替的。

对于那些奇数d[i]=0，则其所有位都可以是任意的数，也就是说d[i]=0就能满足任何的奇数限制。

再考虑偶数位：d[i]和d[i+2]，其实只加上了2，那么可以总结出一些约束：当di>1时，加上2后这个数字最后必然就是2。也就是只有一个0。d[i+2]=1。如果不是就是错误的。而di=1时，d[i+2]>1，因为有进位，我们无法对高位做更多的约束。

2）必要条件二：d[i]和d[i+2]需要满足：

if (d[i]>1) d[i+2]=1 反之亦然。

如果只把这两个条件代入会有错误。因为虽然d[i]和d[i+2]满足约束了，但是有可能d[i]与d[i+2*k] (k>1)不满足约束。所以我们需要把必要条件二推广到d[i+2*k]。以找出更多的约束。

方法一样的，d[i+2*k]=d[j]，其在i数字基础上加了2*k,我们求出2*k末尾有多少个0，设为d2k。那么d[j]与d[i]需要满足当d[i]>d2k时，是d2k个0。当d[i]<d2k时，是d[i]个0.当d[i]=d2k时，末尾有>d2k个0.

然后修改必要条件二为：

2)必要条件二：d[i]与d[j](j:j=i+2*k(k>=0)])，需要满足：

if (di!=d2k) dj=min(di,d2k)

else dj>d2k

满足这个条件以后，再考虑一下由于进位也无法对高位做更多约束，即可求得答案。

int m,n;
class PotentialArithmeticSequence
        { 
        public: 
            vector<int> d;
            int CalcD(int step){    
                int num=0;
                for(int i=0;i<step;i++){
                    num+=2;
                }
                int res=0;
                while(!(num & 1)){
                    res++;
                    num=num>>1;
                }
                return res;
            }
            bool Check(int p,int q){
                for(int i=p;i<q;i++){
                    if (i<q-1) {
                        if (!d[i] && !d[i+1]) return false;
                        if (d[i] && d[i+1]) return false;
                    }
                    if (d[i]==0) continue;
                    for(int j=i+2;j<q;j+=2){
                        if (d[j]==0) return false;
                        int k=(j-i)/2;
                        int d2k=CalcD(k);
                        if (d[i]>d2k) {
                            if (d[j]!=d2k) return false;
                        }
                        else if (d[i]<d2k){
                            if (d[j]!=d[i]) return false;
                        }
                        else{    //di==d2k
                            if (d[j]<=d2k) return false;
                        }
                    }
                }
                return true;
            }
        int numberOfSubsequences(vector <int> d) 
            { 
                this->d=d;
                n=d.size();
                int res=0;
                for(int i=0;i<n;i++) {
                    for(int j=i+1;j<=n;j++){
                        if (Check(i,j)) {
                            res++;
                        }
                    }
                }
                return res;
            } 
};