[洛谷1240]诸侯安置

问题描述

    很久以前，有一个强大的帝国，它的国土呈正方形状（转45度看）。

    这个国家有若干诸侯。由于这些诸侯都曾立下赫赫战功，国王准备给他们每人一块封地（正方形中的一格）。但是，这些诸侯又非常好战，当两个诸侯位于同一行或同一列时，他们就会开战。如下图2-3为n=3时的国土，阴影部分表示诸侯所处的位置。前两幅图中的诸侯可以互相攻击，第三幅则不可以。

   

　国王自然不愿意看到他的诸侯们互相开战，致使国家动荡不安。因此，他希望通过合理的安排诸侯所处的位置，使他们两两之间都不能攻击。

   现在，给出正方形的边长n，以及需要封地的诸侯数量k，要求你求出所有可能的安置方案数。(n≤100，k≤2n²-2n+1)

   由于方案数可能很多，你只需要输出方案数除以504的余数即可。

输入说明

    仅一行，两个整数n和k，中间用一空格隔开。

输出说明

    一个整数，表示方案数除以504的余数。

样例输入

    2 2

样例输出

    4

样例说明

    四种安置方案如图2-4所示。注意：镜面和旋转的情况属于不同的方案。

 

思路

首先可以证明这个图可以转换成如下的形式：

 然后我们会容易发现一种不同与搜索的动态规划做法.

f[i,j]:=f[i,j]+f[k,j-1]*(Len[i]-(j-1)) [j-1<=k<=i-1]

1.f[i,j]表示前i列放置j个的方案，且第j个放在第i列上，

2.前面f[k,j-1]个都需要累加上来，举一个说明为什么需要累加：对于前4排放置2个的情况(平移后的)，2个即可以放在第一列和第三列，也可以放在第一列和第四列，所以需要把这些分布在不同列的情况累加上来。

3.乘(Len[i]-(j-1))是因为前面k列放了j-1个棋子了，然后每行只能放一个棋子，所以第j个棋子在第i列可以放的情况就是Len[i]-(j-1),len[i]是第i列有多少行，程序中是L[i]

const mo=504;    
  
var f:array[0..200,0..200]of int64;    
    l:array[0..2000]of longint;    
    n,k,i,j,kk,m:longint;    
    ans:int64=0;    
    
function min(a,b:longint):longint;    
begin    
   if a>b then exit(b) else exit(a);    
end;    
    
procedure change;    
begin    
    m:=2*n-1;    
    if k>m then    
        begin    
            writeln(0);    
            halt;    
        end;    
    if k=0 then    
        begin    
            writeln(1);    
            halt;    
        end;    
end;    
    
begin    
    fillchar(f,sizeof(f),0);    
    readln(n,k);    
    change;    
    for i:=1 to m do    
        if odd(i) then l[i]:=i else l[i]:=i-1;    
    for i:=1 to m do    
        begin    
            f[i,1]:=l[i];    
            for j:=2 to min(i-1,k) do    
                for kk:=j-1 to i-1 do    
                    f[i,j]:=(f[i,j]+f[kk,j-1]*(l[i]-j+1))mod mo;    
        end;    
    ans:=0;    
    if k=1 then    
        begin    
            writeln((n shl 1)*(n-1)+1);    
            halt;    
        end;    
     for i:=k to m do ans:=(ans+f[i,k]) mod mo;    
     writeln(ans mod mo);    
end.