排列组合算法
排列：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1
组合：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)； C(n,m)=C(n,n-m)。
C语言使用标志位实现
#include <iostream>
using namespace std;
#define MaxN 10
char used[MaxN];
int p[MaxN];
char s[MaxN];
//从n个元素中选r个进行排列
void permute(int pos,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已是第r个元素了，则可打印r个元素的排列 */
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
if(!used[i])
{
/*如果第i个元素未用过*/
/*使用第i个元素，作上已用标记，目的是使以后该元素不可用*/
used[i] = 1;
/*保存当前搜索到的第i个元素*/
p[pos] = i;
/*递归搜索*/
permute(pos+1,n,r);
/*恢复递归前的值，目的是使以后改元素可用*/
used[i] = 0;
}
}
}
//从n个元素中选r个进行组合
void combine(int pos,int h,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已选了r个元素了，则打印它们*/
if (pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for(i=h; i<=n-r+pos; i++) /*对于所有未用的元素*/
{
if (!used[i])
{
/*把它放置在组合中*/
p[pos] = i;
/*使用该元素*/
used[i] = 1;
/*搜索第i+1个元素*/
combine(pos+1,i+1,n,r);
/*恢复递归前的值*/
used[i] = 0;
}
}
}
//产生0~2^r-1的二进制序列
void binary_sequence(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<p[i];
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
binary_sequence(pos+1,r);
p[pos] = 1;
binary_sequence(pos+1,r);
}
//利用上面的二进制序列打印字符串的所有组合
//如"abc"输出a、b、c、ab、ac、bc、abc。
void all_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
if(p[i]==1)
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
all_combine(pos+1,r);
p[pos] = 1;
all_combine(pos+1,r);
}
//利用r进制序列打印字符串的所有重复组合
//如"abc"输出aaa、aab、aac、aba、abb、abc、aca、acb、acc...。
void repeative_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
cout<<s[p[i]];
}
cout<<endl;
return;
}
for(i=0; i<r; ++i)
{
p[pos] = i;
repeative_combine(pos+1,r);
}
}
int main()
{
strcpy(s,"ABC");
int n = 3;
int r = 3;
//permute(0,n,r);
//combine(0,0,n,r);
//binary_sequence(0,r);
//cout<<"string: "<<s<<endl;
//all_combine(0,r);
//repeative_combine(0,r);
return 0;
}
排列组合算法的递归实现：
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
if(start == end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i = start; i <= end; ++i)
{
swap(a[i],a[start]);
permute(a,start+1,end);
swap(a[i],a[start]);
}
}
}
template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
if(start > end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
if(b[i])
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
b[start] = true;
combine(a,b,start+1,end);
b[start] = false;
combine(a,b,start+1,end);
}
}
int main()
{
int p[3]={1,2,3};
int N = 3;
cout<<"permute:"<<endl;
permute(p,0,N-1);
cout<<"combine:"<<endl;
bool b[3];
combine(p,b,0,N-1);
return 0;
}
排列算法的迭代实现
C++ STL中提供了next_permutation和prev_permutation算法。因为next_permutation和prev_permutation实际上是一样的，因此只描述next_permutation算法。next_permutation()函数的作用是取下一个排列组合。考虑{a，b，c}的全排列：abc，acb，bac，bca，cab，cba，以“bac”作为参考，那么next_permutation()所得到的下一个排列组合是bca，prev_permutation()所得到的前一个排列组合是“acb”，之于“前一个”和“后一个”，是按字典进行排序的。
next_permutation()算法描述：
- 从str的尾端开始逆着寻找相邻的元素，*i和*ii，满足*i<*ii；
- 接着，又从str的尾端开始逆着寻找一元素，*j，满足*i>*j（*i从步骤一中得到）；
- swap(*i,*j)；
- 将*ii之后（包括*ii）的所有元素逆转。
举个例子，需要找到“01324”的下一个排列，找到*i=2，*ii=4，*j=4，下一个排列即“01342”。再来找到“abfedc”的下一个排列，找到*i=b，*ii=f，*j=c，swap操作过后为“acfedb”，逆转操作过后为“acbdef”。
//求阶乘
int factorial(int n)
{
if(n == 1) return 1;
return n*factorial(n-1);
}
template <class Type>
void print(Type a, int n)
{
for(int i = 0; i < n; ++i)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
template <class Type>
void perm2(Type a, int n)
{
int i,ii,j;
int cnt = 1;
print(a,n);
int num = factorial(n);
// STL <algorithm> next_permutation()函数的核心算法
while(++cnt <= num)
{
i = n - 2;
ii = n - 1;
j = ii;
while(a[i] >= a[ii]) --i,--ii; //find *i and *ii
while(a[i] >= a[j]) --j; //find *j
swap(a[i],a[j]); //STL swap
reverse(a+ii,a+n); //STL reverse
print(a,n);
}
}
排列：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1
组合：从n个不同元素中，任取m(m<=n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)； C(n,m)=C(n,n-m)。
C语言使用标志位实现
#include <iostream>
using namespace std;
#define MaxN 10
char used[MaxN];
int p[MaxN];
char s[MaxN];
//从n个元素中选r个进行排列
void permute(int pos,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已是第r个元素了，则可打印r个元素的排列 */
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
if(!used[i])
{
/*如果第i个元素未用过*/
/*使用第i个元素，作上已用标记，目的是使以后该元素不可用*/
used[i] = 1;
/*保存当前搜索到的第i个元素*/
p[pos] = i;
/*递归搜索*/
permute(pos+1,n,r);
/*恢复递归前的值，目的是使以后改元素可用*/
used[i] = 0;
}
}
}
//从n个元素中选r个进行组合
void combine(int pos,int h,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已选了r个元素了，则打印它们*/
if (pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for(i=h; i<=n-r+pos; i++) /*对于所有未用的元素*/
{
if (!used[i])
{
/*把它放置在组合中*/
p[pos] = i;
/*使用该元素*/
used[i] = 1;
/*搜索第i+1个元素*/
combine(pos+1,i+1,n,r);
/*恢复递归前的值*/
used[i] = 0;
}
}
}
//产生0~2^r-1的二进制序列
void binary_sequence(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<p[i];
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
binary_sequence(pos+1,r);
p[pos] = 1;
binary_sequence(pos+1,r);
}
//利用上面的二进制序列打印字符串的所有组合
//如"abc"输出a、b、c、ab、ac、bc、abc。
void all_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
if(p[i]==1)
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
all_combine(pos+1,r);
p[pos] = 1;
all_combine(pos+1,r);
}
//利用r进制序列打印字符串的所有重复组合
//如"abc"输出aaa、aab、aac、aba、abb、abc、aca、acb、acc...。
void repeative_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
cout<<s[p[i]];
}
cout<<endl;
return;
}
for(i=0; i<r; ++i)
{
p[pos] = i;
repeative_combine(pos+1,r);
}
}
int main()
{
strcpy(s,"ABC");
int n = 3;
int r = 3;
//permute(0,n,r);
//combine(0,0,n,r);
//binary_sequence(0,r);
//cout<<"string: "<<s<<endl;
//all_combine(0,r);
//repeative_combine(0,r);
return 0;
}
排列组合算法的递归实现：
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
if(start == end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i = start; i <= end; ++i)
{
swap(a[i],a[start]);
permute(a,start+1,end);
swap(a[i],a[start]);
}
}
}
template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
if(start > end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
if(b[i])
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
b[start] = true;
combine(a,b,start+1,end);
b[start] = false;
combine(a,b,start+1,end);
}
}
int main()
{
int p[3]={1,2,3};
int N = 3;
cout<<"permute:"<<endl;
permute(p,0,N-1);
cout<<"combine:"<<endl;
bool b[3];
combine(p,b,0,N-1);
return 0;
}
排列算法的迭代实现
C++ STL中提供了next_permutation和prev_permutation算法。因为next_permutation和prev_permutation实际上是一样的，因此只描述next_permutation算法。next_permutation()函数的作用是取下一个排列组合。考虑{a，b，c}的全排列：abc，acb，bac，bca，cab，cba，以“bac”作为参考，那么next_permutation()所得到的下一个排列组合是bca，prev_permutation()所得到的前一个排列组合是“acb”，之于“前一个”和“后一个”，是按字典进行排序的。
next_permutation()算法描述：
- 从str的尾端开始逆着寻找相邻的元素，*i和*ii，满足*i<*ii；
- 接着，又从str的尾端开始逆着寻找一元素，*j，满足*i>*j（*i从步骤一中得到）；
- swap(*i,*j)；
- 将*ii之后（包括*ii）的所有元素逆转。
举个例子，需要找到“01324”的下一个排列，找到*i=2，*ii=4，*j=4，下一个排列即“01342”。再来找到“abfedc”的下一个排列，找到*i=b，*ii=f，*j=c，swap操作过后为“acfedb”，逆转操作过后为“acbdef”。
//求阶乘
int factorial(int n)
{
if(n == 1) return 1;
return n*factorial(n-1);
}
template <class Type>
void print(Type a, int n)
{
for(int i = 0; i < n; ++i)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
template <class Type>
void perm2(Type a, int n)
{
int i,ii,j;
int cnt = 1;
print(a,n);
int num = factorial(n);
// STL <algorithm> next_permutation()函数的核心算法
while(++cnt <= num)
{
i = n - 2;
ii = n - 1;
j = ii;
while(a[i] >= a[ii]) --i,--ii; //find *i and *ii
while(a[i] >= a[j]) --j; //find *j
swap(a[i],a[j]); //STL swap
reverse(a+ii,a+n); //STL reverse
print(a,n);
}
}
