POJ 1061 青蛙的约会 数学题
开始用了暴力枚举,后来一看数据这么大,估计肯定超时,无奈上网搜索了一下,考察的是扩展欧几里德算法,还有比较大的整数_int64的处理。
转自http://apps.hi.baidu.com/share/detail/16229280
设过s步后两青蛙相遇,则必满足以下等式:
(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)
稍微变一下形得:
(n-m)*s+k*l=x-y
令n-m=a,k=b,x-y=c,即
a*s+b*l=c
只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能。
首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值,看是否存在s,l的整数解,若存在则输入最小的s,
但显然这种方法是不可取的,谁也不知道最小的s是多大,如果最小的s很大的话,超时是明显的。
其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决,先来看下什么是欧几里德扩展原理:
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
int Gcd(int a, int b)
{
if(b ==
0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式:
int Gcd(int a, int b)
{
while(b !=
0)
{
int r = b;
b = a % b;
a =
r;
}
return a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现:
int exGcd(int a, int b, int &x, int
&y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y
= 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x,
y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b *
b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a,
b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y).
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下:
求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解;
3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' *
t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。