【HNOI模拟By YMD】move

Description

设P(n)为从(0,0)移动到点(n,0)的不同路径数目，移动的方式有以下三种：(x,y)->(x+1,y-1)，(x,y)->(x+1,y)，(x+y)->(x+1,y+1)，并且路径不能和第四象限有交集。求P(n)，并对10^9+7取模。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数。

对于每组数据，一行一个整数n。

Output

对于每组数据，输出答案。

Data Range

20%：n≤10；
50%：n≤10000；
100%：n≤106，T≤10。

 

Solution

20%　　

直接O(3^n*n)的暴力枚举即可。

 

50%

考虑第一次直线y=0的点，假设是(i,0)。

那么从(1,1)到(i-1,1)之间的路径均在直线y=1的上方，显然有P(i-2)种。同理，从(x,0)到(n,0)之间的路径均在直线y=0的上方，有P(n-i)种。

所以，全部合起来可以得到P(n)=Σⁿ_i=1 P(i-2)P(n-i)，其中，规定P(-1)=P(0)=1。

其实可以在20%基础上打个表，考场有超过5人这样写。。。

 

100%

假设移动的路径中一共有i个(x,y)->(x+1,y+1)，那么就一定会有i个(x,y)->(x+1,y-1)，n-2i个(x,y)->(x+1,y)。

而如果不考虑所有的(x,y)->(x+1,y)，那么路径的种数就是第i个Catalan数，设为C_i。如果加入(x,y)->(x+1,y)，也就是在2i+1个空处中插入n-2i相同的球，方案数是C²ⁱ_n。

所以，P(n)=Σⁿ_i=1 C_i C²ⁱn。

 

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

#define N 1000010
#define MOD 1000000007

int t;
int n;

LL f[N],d[N];

inline LL qpow(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        b>>=1;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
    }
    return ans;
}

inline LL C(LL x,LL y)
{
    return f[x]*d[y]%MOD*d[x-y]%MOD;
}

inline LL Catalan(LL x)
{
    return (C(x<<1,x)-C(x<<1,x-1)+MOD)%MOD;
}

int main()
{
    freopen("move.in","r",stdin);freopen("move.out","w",stdout);
    scanf("%d",&t);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=1000000;i++)
        f[i]=f[i-1]*i%MOD;
    for (int i=0;i<=1000000;i++)
        d[i]=qpow(f[i],MOD-2)%MOD;
    while (t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL ans=0;
        for (int i=0;i<=n;i+=2)
            ans+=C(n,i)*Catalan(i>>1),ans%=MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}