_yanghh - 博客园

2020年7月25日

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。定义：函数 $f(x)$ 在含 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n + 1$ 阶导数，则对任意的 $x 阅读全文

posted @ 2020-07-25 17:12 _yanghh 阅读(3849) 评论(0) 推荐(0) 编辑

极值

摘要： 1. $y = f(x)$ 求极值函数 $y = f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，如果对于该去心邻域内任何 $x$，恒有 $$f(x) < f(x_{0})$$ 则称 $x_{0}$ 为一个极大值点，$f(x_{0})$ 为极大值。可以通过导数手段来判断点 $x_{0}$ 是不阅读全文

posted @ 2020-07-25 08:48 _yanghh 阅读(1294) 评论(0) 推荐(1) 编辑

2020年7月23日

介值定理

摘要：最值定理和介值定理共有前提：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续函数。这个前提下面不再赘述。 1. 最值定理只要前提满足，则必存在实数 $m$ 和 $M$，使得 $$m \leq f(x) \leq M$$ $m$ 为函数在区间上的最小值，$M$ 为最大值。换句话说：闭区间上的连阅读全文

posted @ 2020-07-23 08:53 _yanghh 阅读(14157) 评论(1) 推荐(5) 编辑

积分上限函数

摘要：设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，对任意的 $x \in [a,b]$，做变上限积分 $$\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$ 这个积分称为函数 $f(x)$ 的积分上限函数。当 $f(x) > 0$ 时，$\Phi (x)$ 在几何上表示为右侧邻边可阅读全文

posted @ 2020-07-23 08:43 _yanghh 阅读(3943) 评论(0) 推荐(0) 编辑

积分中值定理

摘要：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使下式成立 $$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$ 证明：由最值定理可知，$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上存在最大值和最小值，分别设为 $M$ 和 $m 阅读全文

posted @ 2020-07-23 08:32 _yanghh 阅读(4154) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2020年7月21日

狄利克雷(Dirichlet)函数

摘要：函数的表达式如下： $$D(x) = \left\{\begin{matrix}1, & x \in Q\\ 0, & x \; not \in Q\end{matrix}\right.$$ 这个函数无法画出它的图形，但每一个自变量唯一对应一个 $D$ 值，所以它满足函数一一映射的定义，$Q$ 代表阅读全文

posted @ 2020-07-21 21:05 _yanghh 阅读(15507) 评论(0) 推荐(0) 编辑

$z=f(x,y)$ 的偏导数和全微分

摘要： 1. 偏导数偏导数 $\neq$ 偏导函数。偏导数是偏导函数在某点的函数值在点 $(x_{0},y_{0})$ 处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数分别为 $$f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0} + 阅读全文

posted @ 2020-07-21 11:16 _yanghh 阅读(3135) 评论(0) 推荐(0) 编辑

函数极限

摘要：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一个去心邻域(不包括 $x_{0}$ )有定义，如果存在常数 $A$，对于给定的任意正数 $\varepsilon$ (无论它多么小)，总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足 $0 < |x-x_{0}| < \delta$ 时，总有 $ 阅读全文

posted @ 2020-07-21 10:06 _yanghh 阅读(897) 评论(0) 推荐(0) 编辑

$y = f(x)$ 的导数和微分

摘要： 1. 导数导数 $\neq$ 导函数，导数是导函数在某一点的函数值。若 $y = f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域(包含 $x_{0}$ )内有定义，$x$ 是邻域内的任意一点，记 $\Delta x = x - x_{0}$，$\Delta y = f(x) - f(x_{0})$，于阅读全文

posted @ 2020-07-21 08:07 _yanghh 阅读(1009) 评论(0) 推荐(0) 编辑

不定积分

摘要：原函数：如果在区间 $I$ 上 $F^{'}(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 f(x) 的原函数。不定积分：在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 带有任意常数的原函数称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，即 $$\left [\; F(x) + C \;\right ] 阅读全文

posted @ 2020-07-21 07:36 _yanghh 阅读(924) 评论(0) 推荐(0) 编辑