摘要： 最值定理和介值定理共有前提：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续函数。这个前提下面不再赘述。 1. 最值定理 只要前提满足，则必存在实数 $m$ 和 $M$，使得 $$m \leq f(x) \leq M$$ $m$ 为函数在区间上的最小值，$M$ 为最大值。换句话说：闭区间上的连 阅读全文

摘要： 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，对任意的 $x \in [a,b]$，做变上限积分 $$\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$ 这个积分称为函数 $f(x)$ 的积分上限函数。 当 $f(x) > 0$ 时，$\Phi (x)$ 在几何上表示为右侧邻边可 阅读全文

摘要： 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使下式成立 $$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$ 证明： 由最值定理可知，$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上存在最大值和最小值，分别设为 $M$ 和 $m 阅读全文