图像梯度计算

图像其实就是二元函数 $f(x,y)$，只不过是离散的，图像梯度就是这个二元离散函数的偏导。计算图像梯度是一个一个像素点求的。

连续二元函数的偏导数为

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}$$

但是图像是离散函数，$\Delta x$ 没有办法趋于 $0$，最小只能是间隔 $1$，因此使用有限差分来近似计算梯度。因此，图像偏导变成了如下形式：

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f(x + 1, y) - f(x, y) \\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = f(x, y + 1) - f(x, y)$$

$x,y$ 表示某个像素的坐标，除了上面这个前向差商外，还可以采用后向差商，中心差商来计算梯度。比如采用中心差商：

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{f(x + 1, y) - f(x - 1, y)}{2} \\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{f(x, y + 1) - f(x, y - 1)}{2}$$

    

写成一维卷积的形式等于与 $[-1, 0, 1]$ 这样一个滤波核作卷积。

对于离散的图像来说，一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值，根据选择的梯度算子不同，效果可能有所不同，但是基本原理不会变化。

比如 sobel 算子也可以计算梯度，本质也是通过差分计算，但是用到了前后向序列的信息，同时为每个元素附加权重。