图像梯度计算
图像其实就是二元函数 f(x,y),只不过是离散的,图像梯度就是这个二元离散函数的偏导。计算图像梯度是一个一个像素点求的。
连续二元函数的偏导数为
∂f(x,y)∂x=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx∂f(x,y)∂y=limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy
但是图像是离散函数,Δx 没有办法趋于 0,最小只能是间隔 1,因此使用有限差分来近似计算梯度。因此,图像偏导变成了如下形式:
∂f(x,y)∂x=f(x+1,y)−f(x,y)∂f(x,y)∂y=f(x,y+1)−f(x,y)
x,y 表示某个像素的坐标,除了上面这个前向差商外,还可以采用后向差商,中心差商来计算梯度。比如采用中心差商:
∂f(x,y)∂x=f(x+1,y)−f(x−1,y)2∂f(x,y)∂y=f(x,y+1)−f(x,y−1)2
写成一维卷积的形式等于与 [−1,0,1] 这样一个滤波核作卷积。
对于离散的图像来说,一阶微分的数学表达相当于两个相邻像素的差值,根据选择的梯度算子不同,效果可能有所不同,但是基本原理不会变化。
比如 sobel 算子也可以计算梯度,本质也是通过差分计算,但是用到了前后向序列的信息,同时为每个元素附加权重。
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