均值不等式

对于 $n$ 个正数 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$，它们的算数平均不小于它们的几何平均，即

$$\frac{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$$

当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n}$ 时，等号成立。

证明：

   采用数学归纳法证明：

   1）当 $n = 1$ 时：显然成立。

   2）当 $n = 2$ 时，由基本不等式可知，式子成立。

   3）假设 $n = k-1$ 时，不等式成立，即

$$\frac{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k-1}}{k-1} \geq \sqrt[k-1]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k-1}}$$

      当 $n = k$ 时，为了方便推导，记

$$A_{k} = \frac{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}}{k} \;\;\;\;\; G_{k} = \sqrt[k]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}}$$

      令

$$a_{1} = \min \left \{ a_{i} | i = 1,2,\cdots,k \right \} \\
a_{k} = \max \left \{ a_{i} | i = 1,2,\cdots,k \right \}$$

      显然

$$a_{1} \leq A_{k} \leq a_{k} \\
\Rightarrow (a_{1} - A_{k})(a_{k} - A_{k}) \leq 0 \\
\Rightarrow (a_{1} + a_{k} - A_{k})A_{k} \geq a_{1}a_{k} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)$$

      所以

$$A_{k} = \frac{(k-1)A_{k}}{k-1} = \frac{kA_{k} - A_{k}}{k-1}
= \frac{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k} - A_{k}}{k-1} \\
= \frac{(a_{2}+\cdots+a_{k-1}) + (a_{1} + a_{k} - A_{k})}{k-1} \\
\geq \sqrt[k-1]{a_{2} \cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})}$$

$$\Rightarrow \;A_{k}^{k-1} \geq a_{2} \cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})$$

      上式两边同时乘上 $A_{k}$ 且根据 $(1)$ 式有

$$A_{k}^{k} \geq a_{2} \cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})A_{k} \geq a_{2} \cdots a_{k-1}a_{1}a_{k} = G_{k}^{k} \\
\Rightarrow A_{k} \geq G_{k}$$

证毕