欧拉公式

这个发表于公元 $1748$ 年的数学公式，将三角函数与复指数函数巧妙地关联了起来，它长成下面这个样子

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

其中，$e$ 为自然常数，$i$ 为虚数，$x$ 是角度(使用弧度表示，单位 $rad$)。当参数 $x$ 等于 $\pi$ 的时候，欧拉公式可简化成为：

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

如果不了解什么是复数以及复平面，可以先去阅读博客。

在复平面上画一个单位圆，因为三角函数的定义就是：坐标随角度变化的函数，如果不理解可以去阅读博客。所以单位圆上的点可以用三角函数

来表示为如下左图，如果半径为 $a$，则可以表示为如下右图：

           

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式：

$$e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \cdots \\
\sin x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} + \cdots \\
\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} + \cdots $$

将 $x = i\theta$ 代入 $e^{x}$ 得

                                           

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？先来研究一下 $e^{i\theta}$ 在复平面上代表什么？其中 $\theta$ 是单位圆上的点与实轴正半轴的夹角。

在实数域上 $e$ 可以表示为极限

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}$$

所以在实数域上

$$e^{i} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{i}{n} \right )^{n}$$

复数本身就是类似与向量的一种数，它的乘法会发生幅度和角度的变化，所以乘上 $1 + \frac{i}{n}$ 是进行伸缩和旋转运动，$n$ 取值不同，伸缩和旋转

的幅度不同。所以 $e^{i}$ 就是表示复数 $1 + \frac{i}{n}$ 做无数次乘上自身的乘法后得到的结果。

下面几个图分别表示 $n = 3$，$n = 10$，$n = 50$ 时的情况：

      

 从图上可以当取极限 $n\rightarrow \infty$ 时，复数 $1 + \frac{i}{n}$ 相当于复数 $1$，做无数次角度和幅度的变化后，复数  $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{i}{n} \right )^{n}$

就相当于复数 $1$ 旋转了弧长为 $1$ 的距离。类似的：$e^{i\theta}$ 表示复数 $1$ 在单位圆上旋转了弧长为 $\theta$ 的距离，$ae^{i\theta}$ 就表示复

数 $a$ 在半径为 $a$ 的圆上旋转了弧长为 $\theta$ 的距离。逆时针还是顺时针旋转取决于 $\theta$ 的正负，为正则表示逆时针旋转。

这里没有做代数上的证明，只是通过几何直观观察的。现在回到下面这个式子

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

是不是可以一眼看出，$e^{i\pi}$ 就是复数 $1$ 逆时针旋转 180 度，得到复数 $-1$，那加上 $1$ 后自然就是 $0$ 了。

所以总结一下：$e^{i\theta}$ 看作通过复数 $1$ 在单位圆上的圆周运动来描述单位圆上的点，$\cos \theta + i \sin \theta$ 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，

是同一个点不同的描述方式，两者自然就会相等。

    

根据欧拉公式可以推出

$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$

                    

对于分子 $e^{i\theta} - e^{-i\theta}$ 和 $e^{i\theta} + e^{-i\theta}$ 都代表一个复数，当成向量来考虑，其实左图红线的位置不对，应该把起始点移到原点，但因为除了 $i$，所以没关系。