函数的对称性及其图像变换

介绍对称性之前首先介绍下抽象函数 $f(x)$，这个含义是：将映射关系 $f$ 作用于括号内的东西，这里就是 $x$。

强调一下，$f$ 作用的对象是括号内的全体，所以不管括号内的式子长什么样子，需要整体看待。

一个映射关系 $f$ 就对应一个自变量为 $x$ 的函数图像，作用的结果就是函数值。

举个例子：$f(x),f(x+10)$ 有相同的映射关系 $f$，但这个映射关系作用的对象不同，前者直接作用于自变量 $x$，后者作用

于 $x + 10$，所以两者得到的函数式是不同的，因为函数图像是函数值和自变量 $x$ 之间的关系，并不是函数值和所作用对象

之间的关系，所以 $f(x),f(x+10)$ 两者的图像不一样。

 

1. 函数的变换

   之所以会存在这样一个变换，是由于两个函数之间存在一个相同的映射关系 $f$，只是作用的对象不一样，导致图像不一样，但

   因为映射关系相同，所以可以找到它们图像之间的联系，或者说：找能使它们函数值相等的自变量之间的关系。

   1）平移变换

      比如：$f(x), f(x + 10)$，这两个图像有什么位置联系呢？

      由于映射关系相同，所以 $f$ 作用于相同的一个值，那函数值必然相同，观察可得：只要函数 $f(x + 10)$ 代入的自变量 $x$

      比代入函数 $f(x)$ 的自变量小 $10$，那它们的函数值就一样，对于它们的自变量全体都有这样的特点，于是可以得到它们图像

      的特点：图像 $f(x+10)$ 右移 $10$ 个单位就是图像 $f(x)$。

      更通俗来讲：因为 $f(x + 10)$ 本身自带了一个增量，所以自变量可以少一点，而 $f(x)$ 本身没有增量，所以自变量要多，两者才能相等。

      总之：针对同一个 $x$，函数 $f(x)$ 代入 $x$，函数 $f(x + 10)$ 代入 $x - 10$，两者函数值相等。

   2）对称变换

      比如：$f(-x + k)$ 和 $f(x + k)$，这两个图像有什么位置关系呢？它们的自变量之间存在怎样的关系，才会使函数值相同呢？

      针对同一个 $x$，可以发现这两个函数的作用对象 $-x+k$ 和 $x+k$ 关于直线 $x = k$ 对称，所以函数 $f(-x+k)$ 代入 $x$，而

      函数 $f(x+k)$ 代入 $x$ 关于直线 $x=k$ 的对称点 $2k - x$(对称的对称，所以作用对象就相同)，两者就有相同的函数值。

   3）伸缩变换

      比如：$f(x), f(2x)$，这两个图像有什么位置联系呢？

      这个就和平移变换类似，$f(2x)$ 本身带了一个倍乘，所以自变量需要少一点，可以发现：只要函数 $f(2x)$ 代入的自变量是函

      数$f(x)$  代入的自变量的 $\frac{1}{2}$，那么 $f$ 就会作用于相同的值，函数值就相同，对于它们的自变量全体都有这样的特点，于是

      可以得到它们图像的特点：图像 $f(2x)$ 是图像 $f(x)$ 横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$。

      总之：针对同一个 $x$，函数 $f(x)$ 代入 $x$，函数 $f(2x)$ 代入 $\frac{1}{2}x$，两者函数值相等。

 

2. 函数的对称性

   1）函数关于直线 $x = k$ 对称

      由函数的变换可以知道，$f(x)$ 关于直线 $x = k$ 对称的函数图像为 $f(2k-x)$，既然函数图像自身对称，那么有

$$f(x) = f(2k - x)$$

   2）函数关于点 $(a,b)$ 中心对称

      中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合。有这样对称性的图像具有什么特点呢？随便画一个图，

      就很容易得到：关于直线 $x = a$ 对称的两个点，其函数值关于直线 $y = b$ 对称，即

$$ f(x) + f(2a - x) = 2b$$