动态规划
动态规划是一种算法思想，将原始问题拆分成规模更小且与原始问题性质相同的子问题，利用子问题的解得到原始问题的解。
动态规划的适用条件之一是存在重叠子问题。动态规划的实现方式可以是自顶向下或自底向上。
1）使用自顶向下实现时，通常使用递归实现，但这种方式通常会重复计算相同的子问题，导致时间复杂度很高。
2）为了充分利用重叠子问题的性质，需要存储已经计算得到的子问题的答案，这样下次在遇到相同子问题的时候就可以直接得到答案
而不需要重复计算。这就可以使用自底向上，通常使用迭代实现，此时可以确保每个子问题只会被计算一次而不会被重复计算。
语言是苍白的，下面来看几个例子：
1. 斐波那契数列
数列形如：$1,1,2,3,5,8,...$，满足如下的递归式
$$fib(n) = \left\{\begin{matrix}
1, & n = 1 \; or \; n = 2\\
fib(n-1) + fib(n-2), & other
\end{matrix}\right.$$
我们用树的结构来描述这个问题是如何拆分成一系列子问题的，或者说用树的形式来描述一下这个递推程序。
以数列：$1,1,2,3,5,8,13$ 为例，其递归树如下：
从图中可以看出，存在很多重叠的子问题，比如红色方框内的 $fib(5)$，虽然其中一条分支已经计算过了，但另一条分支仍会计算。
自上而下的实现方式如下，采用的是递归：
int fib(int n)
{
if(n > 1) {
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
else {
return n; // n = 0, 1 时递归终止
}
}
自下而上的实现方式如下，采用的是迭代：
#define MAXN 100
int fib(int n)
{
int F[MAXN] = {0};
F[0] = 0;
F[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
}
return F[n];
}
因为递归太耗堆栈了，效率不高，所以能用迭代的话，还是尽量使用迭代。
迭代就相当于是记忆化搜索，将子问题的解记录下来，需要的时候直接从内存中取。
2. 多任务最大收益问题
上面这张图中，横轴代表时间，每一个小长方形表示一个任务，一共有 $8$ 个任务，长方形上的红色数字代表任务的收入。
每个任务不能同时发生，比如做第 $8$ 个任务的时候，就没办法做第 $7，6$ 这两个任务。
问题是：怎么样选择任务能获得最多的收益？
可以从单个任务考虑，针对第 $i$ 个任务，只会有两种可能：选或不选。设 $opt(i)$ 表示：在任务 $1-i$ 中能获得最多收益的最优解。
设 $prev(i)$ 为前一个不与 $i$ 重叠的任务(如上右图)，$v_{i}$ 为选择任务 $i$ 能获得的收益，则
1）最优解中包含第 $i$ 个任务：$opt(i) = v_{i} + opt(prev(i))$。
2）最优解中不包含第 $i$ 个任务：$opt(i) = opt(i - 1)$。
在任务 $1-i$ 中做选择，只会有上面这两种情况。这个问题的递推式如下：
观察红框部分，很明显这里出现了重叠子问题。这里使用自底向上的方法，从 $opt(1),opt(2),...$ 逐步计算到 $opt(8)$。
3. 不相邻子数列最大和
比如一个数列：$4,1,1,9,1$，现在要在这个数列里面选出一些数字，这些数字不能有相邻的数，问：选哪些数字能使它们的和最大？
以下面数组进行举例：
设 $opt(i)$ 表示下标从 $0-i$ 这组数据求解的最佳方案，则上面的问题就是要求 $opt(6)$。
还是将每个数单独考虑，对于第 $i$ 个数，它只有两种可能，即选或不选。
1）选择第 $i$ 个数，则 $opt(i) = arr[i] + opt(i - 2)$。
2）不选第 $i$ 个数，则 $opt(i) = opt(i - 1)$。
可以做出其递推树如下：
可以看出，存在重叠的子问题。
先来看一下递归的代码：
int Opt(int arr[], int i)
{
if (i == 0) {
return arr[0];
}
else if (i == 1) {
return max(arr[0], arr[1]);
}
else {
return max(Opt(arr, i - 2) + arr[i], Opt(arr, i - 1));
}
}
但是用递归会产生很多的重叠子问题，计算效率低，所以接下来用自底向上实现：
#define MAXN 100
int Opt(int arr[], int i)
{
int dp[MAXN] = {0};
dp[0] = arr[0];
dp[1] = max(arr[0], arr[1]);
for(int j = 2; j <= i; ++j) {
dp[j] = max(dp[j - 2] + arr[j], dp[j - 1]);
}
return dp[i];
}
