三角不等式

1. 关于三角形边的不等式

   关于三角形有一个常用的不等式，以下面的三角形为例：

     

$$a + b > c \\
a + c > b \\
b + c > a$$

   上面的三个不等式很容易理解，两点之间直线段最短，而两边之和相当于折线段，必然会小于直线段的长度。

   上面三个不等式进行移项有

$$a > c - b \\
a > b - c \\
c > b - a \\
c > a - b \\
b > a - c \\
b > c - a$$

   所以

$$a > | b - c | \\
c > | a - b | \\
b > | a - c |$$

   即任意两边之差小于第三边。

 

2. 向量三角不等式

   这个不等式本质还是关于三角形三条边的关系，可以由 $1$ 推得，不等式内容如下

$$||a| - |b|| \; \leq \; |a \pm b| \; \leq \; |a| + |b| $$

   向量 $a + b$ 或者 $a - b$ 是由向量 $a$ 和向量 $b$ 构成的三角形的第三条边，而向量取绝对值(取模)之后就是向量长度(边长)。

   所以上面的不等式本质就是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

 

3. 绝对值三角不等式

   这个不等式很容易理解，其内容如下

$$||a| - |b|| \; \leq \; |a \pm b| \; \leq \; |a| + |b| $$

   其并不是从三角形的三边关系推导而来，考虑 $a,b$ 的正负，将它们做加减，绝对值的和必然都是最大的，绝对值差的绝对值

   必然都是最小的。可分类考虑。