行列式
定义：由排成 $n$ 阶方阵形式的 $n^{2}$ 个数 $aij(i,j=1,2,...,n)$ 确定的一个数，形如
$$D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\
... & ... & ... & ...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{vmatrix}$$
一个行列式的计算是这个规定的：
$$D = \sum (-1)^{k}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}...a_{nk_{n}}$$
式中 $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ 是将序列 $1,2,...,n$ 的元素次序交换 $k$ 次所得到的一个序列，$k$是这个序列的逆序数。
注：一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，比如排列 $2431$，构成逆序的共有 $21,43,41,31$，故逆序数为 $4$。
从定义可以看出，每一组数必须在不同行和不同列，然后共有 $n!$ 种排列，但却并不是将全部排列进行累加，每一个排列还关联到一个
符号，这个符号与每个排列中数的相对位置有关，然后将它们全部累加求和就是行列式的计算结果。
感觉很神奇有木有。
1. 行列式的第一公理化构造
逆序数只是用于计算行列式的一种手段，先来看看行列式是为了什么样的目标而去定义的。
$$det(... v ...)$$
其中 $v$ 是一个列向量，最初定义行列式这么一个结构，要求它必须满足一下性质：
1）多重线性
$$det(...au + bv...) = a \cdot det(...u...) + b \cdot det(...v...)$$
2）交替性
$$det(...u...v...) = -det(...v...u...)$$
3）正规化
$$det(E) = 1$$
从上面的定义中我们可以推出几个结论。
由交替性可知，
$$det(...u...u...) = -det(...u...u...)$$
即如果行列式内有两个相同的列向量，那么值为 $0$。
进一步得
$$det(...u + cv...v...) = \cdot det(...u...v...) + c \cdot det(...v...v...)$$
由上可知，第二项为 $0$，所以：某一列向量加任意倍的另一向量，行列式的值不变。
从上面规定的行列式的性质就可足以导出我们所知道的所有其它性质。
2. 由平行四边形变换推导面积计算公式
用 $\mu$ 表示平行四边形面积，简单起见，只考虑二维，它的两个边向量分别为 $u,v$，则面积非负，即
$$\mu(u,v) \geq 0$$
如果两个向量重合，那么构成的图形面积为 $0$，即
$$\mu(u,u) = 0$$
对于一个平行四边形，$u+cv$ 得到的新向量和原向量 $v$ 构成的平行四边形面积不变，因为两者同底等高，即
$$\mu(u+cv,v) = \mu(u,v)$$
平行四边形一边长变成 $c$ 倍，面积也变成 $c$ 倍，故
$$\mu(cu,v) = c\mu(u,v)$$
那么行列式显然就是平行四边形的面积，究其原因：行列式的恒等变换恰好对应平行四边形面积的恒等变换。
下面来证明平行四边形的面积变换也满足：$\mu(u+w, v) = \mu(u,v) + \mu(w,v)$。
$$\mu(u+w,v) = \mu(u + w + kv, v) = \mu((1+\lambda)u,v) \\
= \mu(u,v) + \mu(\lambda u,v) \\
= \mu(u,v) + \mu(w+kv,v) \\
= \mu(u,v) + \mu(w,v)$$
3. 行列式的计算
行列式代表图形的面积或者体积，最简单的行列式自然就是对角型，它们的体检或者面积就是各边直接相乘，如
$$\begin{vmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c
\end{vmatrix} = abc$$
无论何种行列式都可以通过恒等变换化为行列式进行计算。
4. 由公理化的构造得到逆序数的定义
约定 $v^{j}$ 是行列式内第 $j$ 个向量，$x_{i}^{j}$ 表示行列式第 $i$ 行第 $j$ 列的数，$e_{i}$ 表示第 $i$ 个数为 $1$ 的单位向量，
$\sigma$ 是置换群 $S$ 中的一个置换。
$$sgn \sigma = \left\{\begin{matrix}
+1 & ,even \; change\\
-1 & ,odd \; change
\end{matrix}\right.$$
偶置换相当于排列的逆序数是偶数，奇置换同理。
下面开始推导，以下面行列式为例
$$D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}$$
先进行如下转换
$$det(v^{1}\;v^{2}\;...\;v^{n}) = det(\sum_{i_{1}}^{}x_{i_{1}}^{1}e_{i_{1}} \; \sum_{i_{2}}^{}x_{i_{2}}^{2}e_{i_{2}} \; ... \; \sum_{i_{n}}^{}x_{i_{n}}^{n}e_{i_{n}})$$
原行列式变成下面这样
$$D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 + 0 + 0 & 2 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0\\
0 + 4 + 0 & 0 + 5 + 0 & 0 + 6 + 0\\
0 + 0 + 7 & 0 + 0 + 8 & 0 + 0 + 9
\end{vmatrix}$$
对于上面这个行列式，可以利用多重线性进行拆开，即
$$D =
\begin{vmatrix}
1 + 0 + 0 & 2 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0\\
0 + 4 + 0 & 0 + 5 + 0 & 0 + 6 + 0\\
0 + 0 + 7 & 0 + 0 + 8 & 0 + 0 + 9
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & 2 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0\\
0 & 0 + 5 + 0 & 0 + 6 + 0\\
0 & 0 + 0 + 8 & 0 + 0 + 9
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
0 & 2 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0\\
4 & 0 + 5 + 0 & 0 + 6 + 0\\
0 & 0 + 0 + 8 & 0 + 0 + 9
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
0 & 2 + 0 + 0 & 3 + 0 + 0\\
0 & 0 + 5 + 0 & 0 + 6 + 0\\
7 & 0 + 0 + 8 & 0 + 0 + 9
\end{vmatrix} $$
当然还可以继续将第二项和第三项拆开，共有 $27$ 个排列。所以有
$$det(v^{1}\;v^{2}\;...\;v^{n}) = det(\sum_{i_{1}}^{}x_{i_{1}}^{1}e_{i_{1}} \; \sum_{i_{2}}^{}x_{i_{2}}^{2}e_{i_{2}} \; ... \; \sum_{i_{n}}^{}x_{i_{n}}^{n}e_{i_{n}}) \\
= \sum_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}^{}det(x_{i_{1}}^{1}e_{i_{1}} \; x_{i_{2}}^{2}e_{i_{2}} \;...\; x_{i_{n}}^{n}e_{i_{n}}) \\
= \sum_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}^{}x_{i_{1}}^{1}x_{i_{2}}^{2}\;...\;x_{i_{n}}^{n}det(e_{i_{1}} \; e_{i_{2}} \;...\; e_{i_{n}}) \\
= \sum_{\sigma \in S}^{}x_{\sigma{1}}^{1}x_{\sigma{2}}^{2}\;...\;x_{\sigma{n}}^{n} \cdot sgn \sigma \cdot det(E)$$
其中 $i_{1},i_{2},...,i_{n}$ 中有相同的值的项均为 $0$。
到这里就很明白为什么要引入逆序数了，完全是由于逆序数能表征置换的奇偶性。
