伴随矩阵

设矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，将矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行第 $j$ 列元素划去后，剩余的各元素按原来的排列顺序组成

的 $n-1$ 阶矩阵所确定的行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$，并定义它的代数余子式为

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

方阵 $A$ 的各元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵

$$A^{*} =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\
... & ... & ... & ... \\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{bmatrix}$$

称为 $A$ 的伴随矩阵。

伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。

代数余子式的重要结论：

    1）$n$ 阶行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

    2）$n$ 阶行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

证明：

$$D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{i1}+0+ \cdots + 0 & 0+a_{i2}+ \cdots +0 & \cdots  & 0+ \cdots +0+a_{in}\\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{i1} & 0 & \cdots  & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
0 & a_{i2} & \cdots  & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} + \cdots +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
0 & 0 & \cdots  & a_{in} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$$

   上面是将第 $i$ 行拆成若干个行向量相加，然后再按行列式的某行(列)向量相加的可拆性质进行拆开即可。

   剩下的部分这里不写。

证毕