矩阵的逆

我们对一个矩阵(向量组)或者向量做线性变换是否总能找到一个逆变换使结果向量再变回原向量或原矩阵？

先来直观的理解一下：假如原来待变换矩阵 $A$ 位于的线性空间的维度为 $n$，但经过矩阵 $P$ 的作用后，结果矩阵 $B$ 的秩变小了，即可以用

小于 $n$ 维度的线性空间容纳，那么此时能找到一个逆变换矩阵将 $B$ 再变回 $A$ 吗？

答案是显然不能，变换的本质是矩阵列向量或者行向量的线性组合，根据线性空间的封闭性，某一空间内的向量无论怎么组合，结果肯定还是处于本

空间内的，不会发生产生高维度空间向量的情况。

结论：只有当被作用矩阵 $A$ 或向量在变换后的秩 $=$ 原来的秩，才会存在逆变换矩阵。

下面来看一个例子：

$$PA = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{bmatrix} = B$$

$$QB = \begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix} = A$$

这种情况算不算是矩阵 $P$ 存在逆变换 $Q$ 呢？

我们讨论一个矩阵的逆变换是具有普适性的，而不是针对某一个被作用矩阵，上面这个例子中，如果将 $A$ 换成满秩的矩阵，那么 $P$ 便不会存在

逆变换，在 $A$ 满秩的这种情况下，要使变换矩阵存在逆变换，则 $P$ 也必须满秩，故存在逆变换的矩阵必须是满秩矩阵。

存在逆变换的矩阵：

    1）$A$ 首先必须方阵，这样一来其逆变换矩阵也是方阵，两个矩阵就可以交换位置相乘。

    2）共同作用后变化效果能相互抵消，因为单位矩阵作用于任何向量都是它本身，所以 $AB = BA = E$。

满足上述条件的逆变换矩阵称为逆矩阵，记为

$$A^{-1} = B \; or \; B^{-1} = A$$

 

存在逆变换的矩阵其行列式不为 $0$：

    行列式是线性变换的伸缩因子，变换矩阵的行列式大于 $0$，对于图形有放大的作用，行列式等于 $1$，则图形的大小不会变，

    行列式小于 $1$，对于图形有缩小的作用。行列式等于 $0$，有一个重要的结论是，矩阵不可逆。这点也很好理解，原来的线性

    空间被压缩，低维度的向量线性组合无法产生高维度的向量。

 

关于逆矩阵的一些性质：

    1）$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，可以根据定义来证明：$ABB^{-1}A^{-1} = B^{-1}A^{-1}AB = E$。

    2）$k \neq 0$ 时，$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$，易根据定义证明：$kA \cdot \frac{1}{k}A^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \cdot kA = E$。