矩阵的秩及相关定理

矩阵是一个数表，里面的元素有很多种理解方式，现在我们将矩阵理解为由行向量或列向量组成的一个向量组。

则矩阵的秩就是：行向量组或者列向量组中极大线性无关组所含向量的个数，或者说秩是列(行)向量空间的最低维度。

所以我们拿到一组向量，通过构造矩阵求秩，就可以知道这些向量所在空间的最低维度。怎么理解呢？

线性空间是我们用来容纳向量的集合，比如水平面就是一个线性空间，平面上的所有向量都是该空间内的元素，而水平面内的向量其实

又全包含在三维空间内，所以三维空间也可以构成一个线性空间，来容纳水平面上的所有向量，一组向量所处的线性空间维度是没有上

限的，但有下限，这个下限就是这个向量组的秩，比如平面上的所有向量秩为 $2$，那最少得用一个平面来容纳它们，总不能用直线来

容纳吧。

总之：秩就是容纳这些向量的最小向量空间的维数。

设有若干个向量，它们能找到一个维数为 $n$ 的空间容纳，且无法再找到更低维度的空间，那么它们的线性组合必然也能被这个空间容纳。

这是由线性空间的封闭性决定的。

注：如果不了解什么是向量空间的维数和向量维数，可先阅读博客。

进一步理解：以 $AB=C$ 为例

$$\begin{bmatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & ... & \alpha_{n}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nn}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\beta_{1} & \beta_{2} & ... & \beta_{n}
\end{bmatrix}$$

矩阵 $C$ 的列向量组可以由矩阵 $A$ 的列向量组线性表出，输出向量组所在向量空间的最低维度必然不会超过矩阵 $A$ 的秩。

输出的向量可能就被压缩到低维度的空间，即降秩(取决于变换的矩阵)。

理解了上述内容，可以得到一个定理：

$$r(AB) \leq min(r(A),r(B))$$

   1）将 $A$ 看成变换矩阵，按列分块，矩阵 $B$ 即为输入向量的坐标，则输出矩阵列向量都可以由 $A$ 列向量组表示，故 $r(AB) \leq r(A)$。

   2）将 $B$ 看成变换矩阵，按行分块，矩阵 $A$ 即为输入向量的坐标，则输出矩阵行向量都可以由 $B$ 行向量组表示，故 $r(AB) \leq r(B)$。