线性表出和线性变换
1. 线性组合或线性表出
1）单个向量由向量组表出
对于线性空间中的一个向量 $\beta$，和一组向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$，$k_{1},k_{2},...,k_{s}$ 是空间所在数域上的一组实数，如果有
$$\beta = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + ... + k_{s}\alpha_{s}$$
则称向量 $\beta$ 是向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 的线性组合，或称 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 线性表示。
更进一步定义：如果存在一组不全为 $0$ 的数 $k_{1},k_{2},...,k_{s}$，使得向量组的线性组合满足
$$\sum_{i=1}^{s}k_{i}\alpha_{i} = 0$$
则称向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 线性无关，否则称其为线性相关。
通俗的解释：如果向量组中的某一个或多个向量可以由组内的其余向量通过加法或数乘表示，则该向量组线性相关，反之则线性无关。
既然一个向量组中的某些向量可以被其它向量表示，那么这些向量就是多余的。
2）向量组由向量组表出
设两个 $n$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}(I)$ 和 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}(II)$，若 $I$ 中的每一个向量都可以由 $II$ 表出，则称 $I$ 可由 $II$ 线性表出。
如果可以相互线性表出，则称两个向量组等价。两个等价的向量组必同维且等秩。并且有
$$r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) \leq r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t})$$
这很容易理解：秩代表向量组所处空间的最低维度，位于低维空间的向量组自然没办法表示位于高维空间中的向量组。
2. 线性变换
一般情况下的变换是非常复杂的，而线性代数所研究的一种特别的变换，这类变换相对比较容易理解，也就是线性变换。
我们知道，只要选定了线性空间和该空间中的一组基，那一个向量就被确定了，进一步地，矩阵可以描述该空间中的任何一个运动（变换）。
使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量，即
$$\beta = T\alpha$$
可见：矩阵的本质是运动的描述。变换矩阵 $T$ 必须满足以下条件：
1）叠加性：任给向量 $\alpha _{1},\alpha _{2}$，有 $T(\alpha _{1} + \alpha _{2}) = T\alpha _{1} + T\alpha _{2}$。一个输入分解后产生的输出叠加效果与分解前一致。
2）齐次性：任给向量 $\alpha$ 和数 $k$，有 $T(k\alpha) = kT\alpha$，即输入扩大 $k$ 倍，其输出相应的也扩大 $k$ 倍。
对于一般的变换，输出向量可能具有不同的维数，即不同线性空间的向量映射，而线性变换是到空间自身的映射，所以线性变换矩阵是一个方阵。
来看下面两个例子：
$$\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\\
2 & 5 & 8\\
3 & 6 & 5
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8\\
10\\
8
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\\
2 & 5 & 8
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8\\
10
\end{bmatrix}$$
两个都是变换，但只有第一个是线性变换，因为第二个变换的输出向量位于不同的线性空间，不是到线性空间自身的映射。
那方阵和非方阵到底是因为什么造成的差异呢？原因在于列向量的维数不同，即变换矩阵所选取的坐标系和输入向量所选取的坐标系属于不同的线性空间。
这样一来，输出向量就变到其它的线性空间去了。
由博客可知，坐标变换的本质就是矢量合成，以变换矩阵列向量组的极大线性无关组(满秩的话，就是本身)作为一个基，然后合成相同效果的向量，此时输
出向量的参考系或坐标系变了，变成描述变换矩阵的那个坐标系了。
直观来讲，线性变换表示的是直线的特性，符合两个性质：变换前后原点不变，变换前后直线还是直线。
线性变换意味着可以将空间中的向量围绕零点进行旋转伸缩，但不能将其弯曲，否则则是非线性变化。
线性变换未必是可逆的。这一点详见矩阵的逆。
