二项式定理

公式：

$$(a+b)^{n} = C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n-1}b + ... + C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+ ... +C_{n}^{n}b^{n} = \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$

称为二项式定理，各项的系数为 $C_{n}^{k},k=0,1,2,...,n$，通项为 $C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$。

可以采用数学归纳法来证明这个定理：

1）当 $n = 1$ 时，$(a+b)^{1} = \sum_{k=0}^{1}C_{1}^{k}a^{1-k}b^{k} = a + b$。

2）设 $n = m$ 时，式子成立，即 $(a+b)^{m} = \sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}a^{m-k}b^{k}$。

3）当 $n = m + 1$ 时，则有

$$(a+b)^{m+1} = (a + b)(a + b)^{m} = a(a + b)^{m} + b(a + b)^{m} = a\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}a^{m-k}b^{k} + b\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}a^{m-k}b^{k} \\
= a^{m+1} + \sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k}a^{m-k+1}b^{k} + \sum_{k=1}^{m}C_{m}^{k-1}a^{m-k+1}b^{k} + b^{m+1} \\
= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^{m}C_{m+1}^{k}a^{m-k+1}b^{k} \\
= \sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}a^{m-k+1}b^{k}$$