一元泰勒公式

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，

使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

定义：函数 $f(x)$ 在含 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n + 1$ 阶导数，则对任意的 $x \in (a,b)$ 有

$$f(x) = \frac{f(x_{0})}{0!} + \frac{f^{'}(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)$$

观察式子可知，泰勒公式是以某个 $n+1$ 阶可导点 $x_{0}$ 的各阶导数为系数，$x-x_{0}$ 为幂次项所构成的一个多项式。

其中 $x_{0}$ 是泰勒公式的展开点，即逼近的时候是从函数图像上的某个点展开，刚开始肯定是 $x_{0}$ 邻域逼近效果好，随着阶数扩大

逼近的程度逐渐扩大到整个函数。如图，只有一阶展开的时候，泰勒展开式就是 $x_{0}$ 点的切线，相当于在无限趋于 $x_{0}$ 情况下的逼近。

        

一般我们保留一些低阶的部分，去掉高阶的，这样的泰勒部分展开反映的是函数在 $x_{0}$ 处的局部性质。

展开式也可以写成其它形式，如

$$f(x_{0} + h) = \frac{f(x_{0})}{0!} + \frac{f^{'}(x_{0})}{1!}h + \frac{f^{''}(x_{0})}{2!}h^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}h^{n} + R_{n}(x)$$

这里的 $R_{n}(x)$ 即为误差，因为使用多项式函数在某可导的点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一点误差，我们称之为余项。

余项有几种不同的形式：

    1）拉格朗日余项：这个余项的需要 $n+1$ 阶导数，其形式为

$$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$

       其中 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x_{0}$ 之间。

    2）佩亚诺余项：其形式为

$$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})$$

那这个公式怎么来的呢？下面是一种思路。

我们知道导函数的公式是这样子的：

$$f^{'}(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$

去掉极限符号，引入误差得 $\alpha (x)$，$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \alpha (x) = 0$：

$$\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = f^{'}(x_{0}) + \alpha (x) \\
\therefore \; f(x) - f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \alpha (x) \cdot (x-x_{0}) \\
\therefore \; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \alpha (x) \cdot (x-x_{0})$$

又

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)(x-x_{0})}{x-x_{0}} = 0$$

所以记

$$o(x-x_{0}) = \alpha (x) \cdot (x-x_{0}) \\
\therefore \; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + o(x-x_{0})$$

很明显，上面这个式子就是一阶泰勒公式。

那么如何得到二阶的呢？

先比较一下二阶泰勒和一阶泰勒形式上的差别。它们前两项都是一样的，只不过二阶的又多出了一项。高阶无穷小的记号实际上是一个「收纳筐」，

它里面装着很多隐藏着的东西。如此，我们猜测，二阶泰勒多出来的这一项，一定是从一阶泰勒那个高阶无穷小中「分析」出来的。

对余项进行分析，像把它变成一个 $x-x_{0}$ 的平方项和一个误差项的和，很明显想到做极限，即

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0}) - f^{'}(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f^{'}(x) - f^{'}(x_{0})}{2(x-x_{0})} = \frac{1}{2}f^{''}(x)$$

去掉极限符号，引入误差 $\alpha_{1} (x)$，$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \alpha_{1} (x) = 0$，得

$$\frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \frac{1}{2}f^{''}(x) + \alpha_{1} (x) \\
\therefore \; o(x-x_{0}) = \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + \alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2}$$

代入一阶泰勒公式中，有：

$$f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + \alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2} \\
= f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + o((x-x_{0})^{2})$$

这就是二阶泰勒公式！其余更高阶项可如法炮制。