极值
1. $y = f(x)$ 求极值
函数 $y = f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，如果对于该去心邻域内任何 $x$，恒有
$$f(x) < f(x_{0})$$
则称 $x_{0}$ 为一个极大值点，$f(x_{0})$ 为极大值。
可以通过导数手段来判断点 $x_{0}$ 是不是极值点。导函数在一个区间内的正负，反映出原函数在该区间内的单调性。
1）不论该点导数存不存在，只要函数在该点的去心邻域内可导，就有
a. 当 $x \in (x_{0} - \delta,x_{0})$ 时，$f^{'}(x) > 0$，当 $x \in (x_{0},x_{0} + \delta)$ 时，$f^{'}(x) < 0$，则 $x_{0}$ 为极大值点。
b. 当 $x \in (x_{0} - \delta,x_{0})$ 时，$f^{'}(x) < 0$，当 $x \in (x_{0},x_{0} + \delta)$ 时，$f^{'}(x) > 0$，则 $x_{0}$ 为极小值点。
2）函数在点 $x_{0}$ 处二阶可导。有了这个条件，判断极值就可以不用判断左右邻域内导函数符号，而直接通过等式来判断。
a. 若 $f^{'}(x_{0}) = 0,f^{''}(x_{0}) > 0$，则 $x_{0}$ 为极小值点。
b. 若 $f^{'}(x_{0}) = 0,f^{''}(x_{0}) < 0$，则 $x_{0}$ 为极大值点。
2. $z = f(x,y)$ 求极值
函数 $y = f(x,y)$ 在 $(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内有定义，如果对于该去心邻域内任何 $(x,y)$，恒有
$$f(x,y) < f(x_{0},y_{0})$$
则称 $(x_{0},y_{0})$ 为一个极大值点，$f(x_{0},y_{0})$ 为极大值。
下面讲述一种判断极值的手段，但是前提是：函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处必须有二阶连续偏导数。
如果在该点处的偏导数满足
$$f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) = f_{y}^{'}(x_{0},y_{0}) = 0$$
记
$$A = f_{xx}^{''}(x_{0},y_{0}),\; B = f_{xy}^{''}(x_{0},y_{0}),\; C = f_{yy}^{''}(x_{0},y_{0})$$
那么当
1）$AC - B^{2} > 0$，则该点为极值点。$A > 0$ 时，该点为极小值点。
2）$AC - B^{2} < 0$，该点不为极值点。
3）$AC - B^{2} = 0$，该法失效。
是不是感到很莫名其妙，这样怎么就能判断出极值呢？下面我们来做一个证明。
由二元泰勒展开式展开到二阶有：
$$f(x_{0} + h,y_{0}+k) = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}^{'}(x_{0},y_{0})h + f_{y}^{'}(x_{0},y_{0})k + \frac{f_{xx}^{''}(\xi ,\eta)}{2!}h^{2} + \frac{f_{xy}^{''}(\xi ,\eta)}{2!}2hk + \frac{f_{yy}^{''}(\xi ,\eta)}{2!}k^{2}$$
将一阶偏导数等于 $0$ 代入得：
$$f(x_{0} + h,y_{0}+k) = f(x_{0},y_{0}) + \frac{1}{2}\left ( f_{xx}^{''}(\xi ,\eta)h^{2} + f_{xy}^{''}(\xi ,\eta)2hk + f_{yy}^{''}(\xi ,\eta)k^{2} \right )$$
我们的目的是判断在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内，$f(x_{0},y_{0})$ 和 $f(x_{0}+h,y_{0}+k)$ 的大小，做差得
$$f(x_{0} + h,y_{0}+k) - f(x_{0},y_{0}) = \frac{1}{2}\left ( f_{xx}^{''}(\xi ,\eta)h^{2} + f_{xy}^{''}(\xi ,\eta)2hk + f_{yy}^{''}(\xi ,\eta)k^{2} \right )$$
利用极限的保号性，通过判断函数极限的符号来间接判断函数在邻域内的符号，极限为
$$\lim_{h,k\rightarrow 0} \left [ f(x_{0}+h,y_{0}+k) - f(x_{0},y_{0}) \right ] = \frac{1}{2}\left ( Ah^{2} + 2Bhk + Ck^{2} \right )$$
利用二次型来考虑
$$M = Ah^{2} + 2Bhk + Ck^{2} = \begin{bmatrix}
h & k
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
A & B \\
B & C
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
h \\
k
\end{bmatrix}$$
要使它正定，则顺序子主式全部大于 $0$，即 $A > 0,AC-B^{2} > 0$，可推出极限值。
