积分上限函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，对任意的 $x \in [a,b]$，做变上限积分

$$\Phi (x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$

这个积分称为函数 $f(x)$ 的积分上限函数。

当 $f(x) > 0$ 时，$\Phi (x)$ 在几何上表示为右侧邻边可以变动的曲边梯形的面积。

 

性质1：函数 $\Phi (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续

   直观上看，当 $f(x) > 0$ 时，函数 $\Phi (x)$ 代表的是图形在区间 $[a,x]$ 上的面积，很明显，面积随 $x$ 的变化是连续的。

   使用 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$ 来证明。

$$\Delta y = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_{x_{0}}^{x + \Delta x}f(t)dt - \int_{x_{0}}^{x}f(t)dt = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$

   因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，设 $|f(x)| \leq M$，于是

$$|\Delta y | = |\int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt \;| \leq \int_{x}^{x + \Delta x}|f(t)|dt \leq M\cdot \Delta x$$

   由夹逼准则可得

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y = 0$$

 

性质2：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a，b]$ 上连续，则 $\Phi (x)$ 在区间 $[a，b]$ 上可导，且 $\Phi^{'}(x) = f(x)$。

   由 1 可知：

$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt$$

   再由定积分中值定理，得

$$\Delta y = \int_{x}^{x + \Delta x}f(t)dt = f(\xi)\cdot \Delta x$$

   所以有

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(\xi) = f(x)$$

   故：变上限积分函数是 $f(x)$ 的一个原函数。

   可以看出，当 $f(x) > 0$ 时，它的原函数 $\Phi(x)$ 在某一点的函数值就是 $f(x)$ 在该点左侧图形的面积。

   $f(x)$ 的任意一个原函数 $F(x)$ 满足，每一个原函数之间都相差一个常数 $C$。

$$F(x) = \Phi(x) + C$$