积分中值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使下式成立

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$

证明：

由最值定理可知，$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上存在最大值和最小值，分别设为 $M$ 和 $m$，则

$$m \leq f(x) \leq M$$

两边同时积分可得

$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)$$

两边同除以 $b-a$ 得

$$m \leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \leq M$$

由介值定理可得，存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx, \xi \in [a,b]$$

证毕