$y = f(x)$ 的导数和微分
1. 导数
导数 $\neq$ 导函数，导数是导函数在某一点的函数值。
若 $y = f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域(包含 $x_{0}$ )内有定义，$x$ 是邻域内的任意一点，记 $\Delta x = x - x_{0}$，$\Delta y = f(x) - f(x_{0})$，于是有式子
$$\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
上式称为函数 $y = f(x)$ 从 $x$ 到 $x_{0}$ 的平均变化率。
$\Delta x$ 是个变化量，可以为正值，也可以为负值，但不为 $0$，同样 $\Delta y$ 也是可正可负的。
如果当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，即无论 $x$ 是从小于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$，还是从大于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$，平均变化率都趋于一个确定值，
那么使用极限来描述这个逼近过程，得到的精确值便称为函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数，记为
$$f^{'}(x_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$
如果是求导函数，则将 $x_{0}$ 泛化为 $x$，即
$$f^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
极限存在的条件是左右极限均存在且相等，导数存在也一样，即左右导数均存在且相等：
$$f_{+}(x_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$
$$f_{-}(x_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$
$$f_{+}(x_{0}) = f_{-}(x_{0})$$
- 结论1：函数在一点处可导,则它在这个点处连续。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，既然是变化率，那么变化必然是连续的，即函数
在该点处肯定连续。但反过来是不成立的：函数在某点处连续，不能推出它在该点处可导。
解释：某点可导描述的是函数值在该点邻域变化率的恒定，而某点连续描述的是函数值在该点邻域变化的连续，所以导数是连续的更进一步
的定义，可导能推出连续，但连续推不出可导。举个例子：函数 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导，很明显 $x = 0$ 是一个折点，函
数在这一点处左右两侧的变化率不同，即邻域内变化率不恒定，所以导数不存在。故可导的连续是一种平滑的连续，不能是折点。
我们知道：某点连续，无法推出该点邻域内所有点连续，同样，某点可导也无法推出邻域内所有点可导。
- 结论2：可导函数在整个定义域内一定连续。
对于连续函数，由于可导必须是左右导数都存在，所以函数在端点处是不可导的，故定义域必须是开区间。
对于分段函数，要使它在分段点处可导，则函数在该点必须是连续的(通过结论1可推知)，进而函数在整个定义域内都必须连续。
- 结论3：导函数要么连续，要么只会含有第二类间断点。
由不定积分可知，含有第一类间断点的函数是没有原函数的，所以导函数也不含有第一类间断点。
导函数含有的第二类间断点只能是振荡间断点。
2. 微分
先笼统地概括一下：微分是指函数在某一点处趋于无穷小的变化量，是一种变化的量。而导数是指函数在某一点的邻域内恒定的变化率。
设在 $x_{0}$ 处函数自变量的改变量为 $\Delta x$，对应的函数值的改变量为 $\Delta y$，则有
$$\Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})$$
当取定函数 $f$，固定 $x_{0}$，则 $\Delta y$ 只依赖于 $\Delta x$。
一般依赖关系很复杂，但在局部范围内，即 $\Delta x$ 很小的情况下，则可用一个线性变化来近似：
$$\Delta y = A\cdot \Delta x + o(\Delta x)$$
所有，如果有
$$\Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) = A\cdot \Delta x + o(\Delta x)$$
即只要用于逼近的线性函数与原函数的误差是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可微，微分为
$$dy = A\cdot \Delta x$$
$$dy \approx \Delta y$$
综上可知：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近，即当误差为 $o(\Delta x)$时，用 $dy$ 近似代替 $\Delta y$。
那么这个 $A$ 怎么求呢？由导数定义可知，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 满足约束：
$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x)$$
去掉极限符号，得
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f^{'}(x) + \alpha$$
$$\therefore \Delta y = f^{'}(x) \cdot \Delta x + \alpha \cdot \Delta x$$
要使 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 同时满足微分和导数的约束条件，则
$$A = f^{'}(x)$$
$$dy = f^{'}(x)\cdot \Delta x$$
可见：$dy$ 不是一个符号，是真的有具体值。因为 $\Delta x$ 的变化本来就是线性的，所以 $dx = \Delta x$，于是
$$dy = f^{'}(x)\cdot dx$$
$$\therefore f^{'}(x) = \frac{dy}{dx}$$
综上可知：用于逼近原函数的线性函数就是过该点的切线，故对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
