马尔可夫(Markov)不等式

马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的分布函数一个宽泛但仍有用的界。 

令 $X$ 为非负随机变量，且假设 $E(X)$ 存在，则对任意的 $a > 0$ 有

$$P\left \{ X \geq a \right \} \leq \frac{E(X)}{a}$$

马尔可夫不等式是用来估计尾部事件的概率上界，一个直观的例子是：如果 $X$ 是工资，那么 $E(X)$ 就是平均工资，假设 $a=n*E(X)$，即平均

工资的 $n$ 倍。那么根据马尔可夫不等式，不超过 $1/n$ 的人会有超过平均工资的 $n$ 倍的工资。

证明如下

$$E(X) = \int_{0}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{a}xf(x)dx + \int_{a}^{+\infty}xf(x)dx \geq \int_{a}^{+\infty} xf(x)dx \geq a\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = aP\left \{ X > a \right \}$$

切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况。

若随机变量 $X$ 的数学期望和方差都存在，分别设为 $E(X)$ 和 $D(X)$，则对任意的 $\varepsilon >0$，有

$$P\left \{| X-E(X) | \geq \varepsilon  \right \} \leq \frac{D(X)}{\varepsilon ^{2}}$$

通过马尔可夫不等式可证明

$$P\left \{| X-E(X) | \geq \varepsilon  \right \} = P\left \{[X-E(X)]^{2} \geq \varepsilon^{2}  \right \} \leq \frac{E\left \{ [X-E(X)]^{2} \right \}}{\varepsilon ^{2}} = \frac{D(X)}{\varepsilon ^{2}}$$

切比雪夫不等式没有限定分布的形式，所以应用广泛，但这个界很松。

$\varepsilon$ 代表 $X$ 和期望 $E(X)$ 之间的距离，相差越大，则概率越小，它描述了这样一个事实：事件大多会集中在平均值附近。