定积分(黎曼积分)
狭义积分(区别于广义积分)即黎曼积分，它的定义为：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 有定义，在区间 $[a,b]$ 上插入 $n-1$ 个分点，使其分成
$n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_{i}], i=1,2,3,...,n$，任取一点 $\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}]$，做和式
$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(x_{i} - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$
设 $\lambda$ 为所有小区间的最大长度，即 $\lambda = max\left \{ \Delta x_{1}, \Delta x_{2},...,\Delta x_{n} \right \}$。
当分割越来越“精细”的时候，即 $\lambda \rightarrow 0,n\rightarrow +\infty$，分割后的每个小条就可以看作矩形，考虑式子
$$\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$
如果上式值存在，且此极限不依赖于区间 $[a,b]$ 的分法，也不依赖于点 $\xi_{i}$ 的取法，则称此极限为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记为
$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{+\infty}f(\xi_{i})\Delta x_{i}, \xi_{i} \in [a,b]$$
定积分的定义体现了逼近的思想：函数的图形是不规则的，而我们的目的是用简单的、规则的、已知的知识去求它的面积，于是采用无穷分割区间
的办法，将每一个划分出来的小条无限逼近一个矩形，这样的面积就很好求，这种逼近过程是无穷无尽的，但我们总能越来越接近真相。分割越精
细，计算出来的面积误差越小，那么可以认为，无限分割时，这个误差就是无穷小的，即误差是一个无穷小量，无穷小量是个变小的过程，可能是
序列，也可能是函数，而不能直接视作 $0$，那既然还是有误差，那么定积分是不是精确的呢？
没有引入极限定义之前，定积分是不严谨的，定义极限的其中一个主要目的就是为了使原先那套不严谨的微积分严格化。
无穷小量与 $0$ 无法划等号，但是取了极限 $lim$ 符号就行，即
$$\lambda \rightarrow 0$$
$$\lambda \neq 0$$
$$\lim_{}\lambda = 0$$
$\bullet$ 积分形式和累加形式做一个比较：
1）$dx$ 和 $\Delta x$ 都是无穷小量，绝对值表示小闭区间的长度，无限趋于0。不同的是 $dx$ 是一个矢量，有方向，如果积分限 $a < b$，则 $dx > 0$，否则 $dx < 0$，
而 $\Delta x$ 是一个标量，为正，大小也趋于 0。
2）$x$ 是积分变量，相当于 $\xi$。区间无穷分割后，在每个小矩形的底上可以任取一点，用以计算对应函数值 $f(x)$。极限情况下，$x$ 或 $\xi$ 取
遍区间内的每一个点，所以 $x$ 或 $\xi$ 的范围就是积分的区间。
3）符号 $\int_{a}^{b}$ 表示在区间 $[a,b]$ 上极限求和，它不仅表示无穷项求和，还限定了区间和积分方向，而 $\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n} = \sum_{i=1}^{+\infty}$ 只
是表示量级是无穷项累加，并不知道是哪个区间。
$\bullet$ 那什么样的累加和形式可以写成积分形式呢？设累加变量为 $i$。
1）无穷项累加
2）函数和无穷小量乘积
3）函数的自变量是关于累加变量 $i$ 的函数，可以取遍整个定义区间。
如此，便可以自变量为积分变量，定义区间为积分限，写成定积分。
$\bullet$ 定积分的几何意义：设在区间 $[a,b]$ 上 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在($a < b$)，则
1）若 $f(x) > 0$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 等于以曲线 $y=f(x),x=a,x=b$，及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。
2）若 $f(x) < 0$，则积分值表示面积的负值。
3）若 $f(x)$ 有正有负，则积分值表示 $x$ 轴上方图形的面积减去下方图形的面积之差。
$\bullet$ 那么什么样的 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是可以做定积分的呢？直观来看，定积分的绝对值表示面积，那想要可积分，则所围成
的图形应该具有有限的面积。下面是一些可积的充分条件或必要条件，很明显即使含有间断点，所围成的图形也都是有限面积。
1）若$\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在区间内有界。
2）若 $f(x)$ 在区间内连续，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
3）若 $f(x)$ 在区间内有界，且只有有限个间断点，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
4）若 $f(x)$ 在区间内只有有限个第一类间断点，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
$\bullet$ 无穷项累积和是没法计算的，但定积分是可以计算的，使用的是牛顿莱布尼兹公式：若函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间
$[a,b]$ 上的一个原函数，则有
$$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$$
我们知道含第一类间断点的函数是不存在原函数的，而只有有限个第一类间断点的函数又是可积的，那是否矛盾呢？
并不冲突，含有第一类间断点的函数可以通过分区间积分(不分的话也做不了)，从而最终所积的那个函数一定是存在原函数的。
牛顿莱布尼兹公式很容易通过变上限积分函数来证明，这里不讲述。
