排序算法之快速排序

算法描述：

    快速排序也使用分治思想，其过程为：

    分解：将原数组划分为两个子数组，但要求左边数组的每个元素都小于右边数组的每个元素。

    解决：通过递归调用快速排序，对子数组进行排序。

    合并：因为子数组是原址排序，所以不需要合并操作。

 

快速排序划分数组的方法：

1. 单方向遍历

   选择最后一个元素为基准元素。记为x。

   定义如下几个计数变量：

   i：闭区间[0, i]内的元素都≤x

   j：开区间(i, j)内的元素都>x，j为遍历使用的变量

   代码解释：每次发现一个≤x的元素，都会放到第一个区间内，即[0,i]区间内，然后j++。

int divide(int low, int high)
{
    int x = data[high];
    int i = low - 1;  // 初时<=x的区间为空

    // 从第一个元素开始遍历，不包括基准元素
    for(int j = low; j < high; j++)
    {
        if(data[j] <= x)
        {
            // 将该元素放入区间[low, i]
            i = i + 1; // 区间扩大一个元素
            swap(data[i], data[j]);
        }
    }

    swap(data[i+1], data[high])

    return i + 1;
}

　　

2. 双向遍历

int divide(int low, int high)
{
    int x = data[high];
    while(low < high)
    {
        // 从左向右寻找>x的元素
        while(low < high && data[low] <= x) 
        {
            low++;
        }
        data[high] = data[low];

        // 从右向左寻找<x元素
        while(high > low && data[high] >= x) 
        {
            high--;
        }
        data[low] = data[high];
    }
    data[low] = x;
    return low;
}

　　

排序算法实现：

void QuickSort(int low, int high)
{
    int mid = divide(low, high);
    if(low < high)
    {
        QuickSort(low, mid - 1);
        QuickSort(mid + 1, high);
    }
}

　　

复杂度分析：

   快速排序的时间复杂度依赖于划分是否平衡，而平衡与否又依赖于用于划分的元素。

   如果划分平衡，则其算法性能与归并排序一致，为O(nlgn)。

   快速排序使用的空间是O(1)的，也就是个常数级；而真正消耗空间的就是递归调用导致的栈空间了，因为每次递归就要保持一些数据； 

       最优的情况下空间复杂度为：O(logn); 每一次都平分数组的情况

       最差的情况下空间复杂度为：O(n)

   若每次都选取最大或最小值作为基准，导致两个子问题分别包含了0个元素和n-1个元素，则其时间复杂度是多少呢？

   易知划分算法的时间复杂度为O(n)。

   由递归式知：T(n) = T(n-1) + T(0) + O(n) =  T(n-1) + O(n) = T(n-2) + 2 * O(n) = O(n²)

 

稳定性分析：

    快速排序是不稳定的排序算法