杜教筛

先来一道水题

求Σ_i=1ⁿμ(i)

n<=1e5 我会暴力！！

n<=1e7我会线性筛！！

n<=1e9我……WCNM！！

众所周知，线性筛它死了

这个时候，我们的杜教筛大哥走了过来，说：让我来！

杜教筛是干什么用的呢？是用来求积性函数前缀和的

时间复杂度O(n^(2/3))
我们假设有一个积性函数f

设Σ_i=1ⁿf(i)=s(i)

设f*g=h，f，g，h是积性函数

考虑Σ_i=1ⁿh(i)

Σ_i=1ⁿh(i)=Σ_i=1ⁿΣ_d|ig(d)*f(i/d)

更换枚举顺序，Σ_i=1ⁿh(i)=Σ_d=1ⁿg(d)*Σ_d|iⁿf(i/d)

设i'=i/d,i=i'*d

则原式可化为Σ_i=1ⁿh(i)=Σ_d=1ⁿg(d)*Σ_i'=1^⌊n/d⌋f(i')

后面那个Σ=s(⌊n/d⌋)

所以原式可化为Σi=1ⁿh(i)=Σ_d=1ⁿg(d)*s(⌊n/d⌋)

将右边第一项提出来，Σ_i=1ⁿh(i)=Σ_d=2ⁿg(d)*s(⌊n/d⌋)+g(1)*s(n)

所以，g(1)*s(n)=Σ_i=1ⁿh(i)-Σ_d=2ⁿg(d)*s(⌊n/d⌋)

如果Σ_i=1ⁿh(i)可以O(1)求的话，右边数论分块再加上记忆搜，是可以很快求出答案的

具体的话，如果用线性筛筛出来前n^2/3个之后，再用上式带入计算，总时间复杂度就是O(n^2/3)不会证233

我们知道，记忆化是要开数组的，显然n<=1e9它不让你开数组，那怎么办呢？？

方法1：我会哈希！！那你比较勤劳

方法2：我会map！！那你多个log

可是当你遇到了像david-alwal这样既不勤劳又不想要log的人怎么办呢

方法3：我们有黑科技unordered_map！！

关于unordered_map的几点注意事项：

1、万能库----bits/stdc++.h----它死了！！！@Th_Au_K
我们需要开一个库，#include<tr1/unordered_map>

2、声明变量的时候，tr1::unordered_map<int,int>M;

剩下它就和map一样了，除了复杂度，它少了一个log

举几个晓栗子

eg1:f=μ

因为μ*I=e

e的前缀和极其好求就是1，所以g=I，h=e就好了

eg2：f=φ

因为φ*I=id

id的前缀和是n*(n+1)/2

所以g=I，h=id

eg3：f(n)=n*φ(n)

不那么显然了

h=f*g

那么，h(n)=(f*g)(n)=Σ_d|nf(d)*g(n/d)=Σ_d|nφ(d)*d*g(n/d)

那个d很不爽，所以我们考虑g=id

那么，原式=Σ_d|nφ(d)*d*n/d=Σ_d|nφ(d)*n

将n提出去，原式=n*Σ_d|nφ(d)=n²

即f(n)=n*φ(n),g(n)=n,h(n)=n²即可