面试题：求[2, n）之间的素数个数

题目：求[2, n）之间的素数个数
素数的定义：
素数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数。也就是说，素数只能被1和它本身整除，不能被其他自然数整除。

解法1
最简单的实现思路是，实现素数判断函数，然后从2~n逐个判断，然后统计素数个数

public static int countPrimes(int n) {
        if(2== n){
            return 1;
        }
        int count =0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isPrime(i)){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
 
    public static Boolean isPrime(int n) {
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(0 == n%i){
                return Boolean.FALSE;
            }
        }
        System.out.println("prime=" + n);
        return Boolean.TRUE;
    }

　　

解法2

        观察非素数的特点，如6为非素数，它除了被1和6本身整除外，6=2*3=3*2 ，所以实际上述判断时我们判断i<sqrt[n]即可，则算法改造如下：

 public static int countPrimes_2(int n) {
        if(2== n){
            return 1;
        }
        int count =0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isPrime_2(i)){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
    public static Boolean isPrime_2(int n) {
        for(int i=2;i*i<=n;i++){
            if(0 == n%i){
                return Boolean.FALSE;
            }
        }
        System.out.println("prime=" + n);
        return Boolean.TRUE;
    }

　　

解法3：

        再观察一下素数的整数倍，都不是素数，比如2*2=4，2*3=6，2*4=8，2*5=10...都不是

则看可以改造算法如下：初始化所有元素都是素数，然后按照素数的整数倍不是素数赋值，然后再统计素数个数

 public static int countPrimes_3(int n) {
        Boolean[] isPrimes = new Boolean[n];
        Arrays.fill(isPrimes,Boolean.TRUE);
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isPrimes[i]){
                for(int j=2*i;j<n;j+=i){
                    isPrimes[j] = false;
                }
            }
        }
        int count =0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isPrimes[i]){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

　　

解法4

        结合2，3结论，i只要到sqrt[n]即可，而6=2*3=3*2是对称的，最终优化的算法如下

public static int countPrimes_4(int n) {
        Boolean[] isPrimes = new Boolean[n];
        Arrays.fill(isPrimes,Boolean.TRUE);
        for(int i=2;i*i<n;i++){
            if(isPrimes[i]){
                for(int j=i*i;j<n;j+=i){
                    isPrimes[j] = false;
                }
            }
        }
        int count =0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isPrimes[i]){
                count++;
            }
        }
        return count;
    }