空间中任意一点到超平面距离的公式推导

空间中任意一点$x_0$到超平面S的距离公式：

$ \frac {1} { ||w||} |w \bullet x_0 + b|$

 

推导过程：

取点空间中一点$x_0$,，超平面S：$w \bullet x + b = 0$，其中$x_0$,w,x均为N维向量;

 

    设点$x_0$到平面S的距离为d，点$x_0$在平面S上的投影点为$x_1$，则$x_1$满足$w \bullet x_1 + b = 0$;

 

    因为向量$\vec{x_0x_1}$平行于S平面的法向量w，故有

 

       $|w \bullet \vec{x_0x_1}| = |w| |\vec{x_0x_1}| = \sqrt {(w^1)^2 + ... + (w^N)^2} d = ||w||d$,其中$||w||$为向量w的$L_2$范数；

 

    又因     $w \bullet \sqrt{x_0x_1} = w^1(x_0^1 - x_1^1) + w^2(x_0^2 - x_1^2) + ... +w^N(x_0^N-x_1^N)$

                    $= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... + w^Nx_0^N - (w^1x_1^1 + w^2x_1^2 + ... + w^Nx_1^N)$

                    $= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... +w^Nx_0^2 - (-b)$

                    $= w \bullet x_0 + b$

 

    故 $|w \bullet \vec{x_0x_1}|  = |w \bullet x_0 + b| = ||w||d$

 

   得$ d = \frac {1}{||w||} |w \bullet x_0 + b|$