深度学习-循环神经网络笔记

　　循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)与递归神经网络(Recursive Neural Network, RNN)在简写上是一样的，本次笔记只针对循环神经网络，在此之前先说一下，针对这两个神经网络，有些博客只是从名字上将其分开来了，具体的也没详细介绍，经过大量的中文搜索，还是发现了有不少热心大神将它们认真的讲述了，本文暂推荐https://zybuluo.com/hanbingtao/note/541458这篇描述。本文的笔记大都转自这篇文章。

　　全连接神经网络和卷积神经网络他们都只能单独处理一个个的输入，前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。但是，某些任务需要能够更好的处理序列的信息，即前面的输入和后面的输入是有关系的。比如，当我们在理解一句话意思时，孤立的理解这句话的每个词是不够的，我们需要处理这些词连接起来的整个序列；当我们处理视频的时候，我们也不能只单独的去分析每一帧，而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时，就需要用到深度学习领域中另一类非常重要神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Network)。

　　下图是一个简单的循环神经网络如，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：

　　如果把上面有W的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接神经网络。x是一个向量，它表示输入层的值（这里面没有画出来表示神经元节点的圆圈）；s是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层面画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数与向量s的维度相同）；U是输入层到隐藏层的权重矩阵；o也是一个向量，它表示输出层的值；V是隐藏层到输出层的权重矩阵。循环神经网络的隐藏层的值s不仅仅取决于当前这次的输入x，还取决于上一次隐藏层的值s。权重矩阵 W就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。

　　如果把上面的图展开，循环神经网络也可以画成下面这个样子：

这个网络在t时刻接收到输入x_t

式1是输出层的计算公式，输出层是一个全连接层，也就是它的每个节点都和隐藏层的每个节点相连。V是输出层的权重矩阵，g是激活函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。U是输入x的权重矩阵，W是上一次的值s_t-1

输出值o_t是关于s_t的表达式，它是受前面历次输入值x_t-1,x_t-2,x_t-3,...影响的，这就是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。

双向循环神经网络

双向循环网络如图：

先考虑图中的y₂的计算，从上图可以看出，双向卷积神经网络的隐藏层要保存两个值，一个A参与正向计算，另一个值A'参与反向计算。最终的输出值y₂取决于A₂和A'₂，可以如下计算：

可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值s_t

从上面三个公式我们可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说U和U'、W和W'、V和V'都是不同的权重矩阵。

深度循环神经网络

　　前面介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，当然也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：

循环神经网络的训练

循环神经网络的训练算法：BPTT

BPTT算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和BP算法是一样的，也包含同样的三个步骤：

前向计算每个神经元的输出值；
反向计算每个神经元的误差项δ_j
计算每个权重的梯度。

最后再用随机梯度下降算法更新权重。由于https://zybuluo.com/hanbingtao/note/541458这篇运用了数值计算里面的矩阵运算方法，时间长了有点遗忘了，经过多番搜寻找到了https://www.jianshu.com/p/87aa03352eb9这篇比较容易理解的数学表达。循环层如下图所示：

上图表明了RNN网络的完整拓扑结构，从图中我们可以看到RNN网络中的参数情况。在这里我们只分析t时刻网络的行为与数学推导。t时刻网络迎来一个输入x_t，网络此时刻的神经元状态s_t用如下式子表达：

为了方便做了如下变换：

RNN的损失函数选用交叉熵（Cross Entropy），这是机器学习中使用最广泛的损失函数之一了，其通常的表达式如下所示：

上面式子是交叉熵的标量形式，y_i是真实的标签值，y^*_i是模型给出的预测值，最外面之所以有一个累加符号是因为模型输出的一般都是一个多维的向量，只有把n维损失都加和才能得到真实的损失值。交叉熵在应用于RNN时需要做一些改变：首先，RNN的输出是向量形式，没有必要将所有维度都加在一起，直接把损失值用向量表达就可以了；其次，由于RNN模型处理的是序列问题，因此其模型损失不能只是一个时刻的损失，应该包含全部N个时刻的损失。

故RNN模型在t时刻的损失函数写成：

全部N个时刻的损失函数（全局损失）表达为如下形式：

需要说明的是：y_t是t时刻输入的真实标签值，o_t为模型的预测值，N代表全部N个时刻。下文中为了书写方便，将Loss简记为L。在结束本小节之前，最后补充一个softmax函数的求导公式：

BPTT算法

由于RNN模型与时间序列有关，因此不能直接使用BP（back propagation）算法。针对RNN问题的特殊情况，提出了BPTT算法。BPTT的全称是“随时间变化的反向传播算法”（back propagation through time）。这个方法的基础仍然是常规的链式求导法则，接下来开始具体推导。虽然RNN的全局损失是与全部N个时刻有关的，但为了简单笔者在推导时只关注t时刻的损失函数。

首先求出t时刻下损失函数关于o_t^*的微分：