证明矩阵的迹等于特征值之和，矩阵的行列式等于特征值的乘积
矩阵的特征值有以下性质：
设n阶矩阵\(M=(m_{ij})_{n\times n}\)的全部特征值为\(\lambda _1,\lambda _2,\cdots ,\lambda _n\)，则有
性质1:\(\lambda _1 \lambda _2 \cdots \lambda _n =det(M)\)
性质2:\(\lambda _1 + \lambda _2 + \cdots + \lambda _n = m_{11} + m_{22} + \cdots +m _{nn}\)
《高等数学基础线性代数与解析几何第二版》（魏战线）中对此证明略过，以下给出证明过程。
证明：
首先列出求特征值\(\lambda\)的基本公式：
\[det(\lambda I-M)=
\begin{vmatrix}
\lambda - m_{11} & -m_{12} & -m_{13} & \cdots & -m_{1n}\\
-m_{21} & \lambda - m_{22} & -m_{23} & \cdots & -m_{2n}\\
-m_{31} & - m_{32} & \lambda -m_{33} & \cdots & -m_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-m_{n1} & -m_{n2} & -m_{n3} & \cdots & \lambda -m_{nn}
\end{vmatrix}
=0
\tag{1}
\]
基本思路是采用两种方式展开\(det(\lambda I - M)\)，然后对照\(\lambda ^{n-1}\)的系数和常数项，得出上述两个性质。
1. 因式分解展开：
\(det(\lambda I - M)\)是\(\lambda\)的一元\(n\)次多项式，所以有
\[det(\lambda I - M) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n)
\]
对其进行因式分解展开就有：
\[det(\lambda I -M)=\lambda ^n -(\lambda_1 +\lambda_2 +\cdots +\lambda_n )\lambda^{n-1}+\cdots + (-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \tag{2}
\]
注意，我们只写出了\(\lambda^n 、 \lambda^{n-1}\)和常数项，因为后面的证明中只需要这几项。
2. 直接展开：
可以看到
\[det(\lambda I-M)=
\begin{vmatrix}
\lambda - m_{11} & -m_{12} & -m_{13} & \cdots & -m_{1n}\\
-m_{21} & \lambda - m_{22} & -m_{23} & \cdots & -m_{2n}\\
-m_{31} & - m_{32} & \lambda -m_{33} & \cdots & -m_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-m_{n1} & -m_{n2} & -m_{n3} & \cdots & \lambda -m_{nn}
\end{vmatrix}
=0
\tag{1}
\]
以第一行展开（或者随便一行或一列），我们会发现，拥有\(\lambda ^n\)和\(\lambda ^{n-1}\)的只有一项：
\[(\lambda -m_{11})(\lambda - m_{22})\cdots(\lambda - m_{nn})\tag{3}
\]
其他的最高只有\(\lambda ^{n-2}\)，从(3)式就能知道：
\(\lambda ^n\)的系数是1；\(\lambda ^{n-1}\)的系数是\(-m_{11}-m_{22}-\cdots -m_{nn}\)。
与（2）式对照，得到性质2。
然后回到式子(1)，在\(\vert \lambda I - M \vert\)中，求常数项可以直接令\(\lambda = 0\)，即：
\[常数项=\vert \lambda I - M \vert _{\lambda = 0} =\vert -M \vert =(-1)^ndet(M)
\]
于是我们就得到了常数项\((-1)^ndet(M)\),对照(2)式中的常数项，性质1得证。
