原根

原根

阶：满足 $a^n\equiv 1(\mod p)$ 的最小的 $n$，为 $a$ 模 $p$ 的阶
原根：若 $(a,m)=1$ 且 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则 $a$ 为模 $m$ 的原根
判定方法：
若对于 $\varphi(m)$ 的每个素因子 $p$，都有 $a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)$

存在定理：需要满足 $m=2,4,p^x,2p^x$
原根个数：$\varphi(\varphi(m))$

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原根的所有作用其实都围绕其模意义下的指数唯一性展开，根据这一性质可以进行乘法向加法的转化

由阶的性质，$g^x$ 在模 $p$ 意义下各不相同，当 $p$ 为质数时，可以发现 $g^x$ 正好对应了 $1~p-1$ 中的所有数，它们形成了一个映射关系，那么所有 $xy$ 的运算均可转化为 $g^{x'+y'}$ 的运算

（貌似多想式可以把加法转化为乘法？这个不太清楚不敢瞎说）

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BSGS

$BSGS$ 作用就是求方程 $a^x\equiv b(\mod p)$ 的解的工具
当 $p$ 为质数时可以朴素求解，否则可以通过 $exBSGS$ 求解

一定注意特判一些边界情况，如 $x=0$ 等

• $exBSGS$

设 $(a,p)=d$，那么 $a^t+kp=b$

同时除以 $d$，得到 $\frac{a}{d}a^{t-1}+k\frac{p}{d}=\frac{b}{q}$

那么 $\frac{a}{d}a^{t-1}\equiv\frac{b}{d}\pmod {\frac{p}{d}}$

$a^{t-1}\equiv\frac{b}{d}(\frac{a}{d})^{-1}\pmod {\frac{p}{d}}$

• 变形

对于 $x^a\equiv b \pmod p$
可以把左右都通过原根一上去后使用扩欧求解，也可以把左边一上去后先用 $BSGS$ 求解完再扩欧
但是注意扩欧的同余系变成了 $\varphi(p)$

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杂题

A. 整除

求 $x^m\equiv x(\mod p)$
那么等价于 $g^{mi}\equiv g^i (\mod p)$
此时求解 $(m-1)i\equiv 0 (mod p)$ 解的个数
为 $\frac{(p-1)(m-1)}{lcm(p-1,m-1)}+1=gcd(p-1,m-1)+1$

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CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

可以发现式子中出现了乘积式，那么用原根整成加法式
因为加法式的好处是可以通过矩乘递推
但是现在知道了第 $n$ 项的值而不知道第 $k$ 项
可以发现矩阵是可以知道的，而我们只关心第 $n$ 项，可以发现 $f_k$ 对第 $n$ 项的值只与矩阵的一个值有关，于是可以解得 $f_k$
但是这些都是基于指数上的，真实情况是 $f_k^x=f_n$，还需要解一个质数方程