点分治

基础操作

点分治的应用范围非常广泛，条件有：与根的位置无关，一般为链信息统计
话说才知道点分治找重心子树大小要重新统计~

基础的二维偏序，由于具有加减性，把同一子树内的答案容斥掉即可

首先是传统的点分治做法：
由于每个节点分别统计不好实现，于是考虑对颜色进行维护
设 $cnt[i]$ 表示颜色 $i$ 出现的路径条数，那么统计 $\sum cnt$ 解决了子树外的贡献
同时，对于根到当前节点上的颜色，应当产生的贡献为 $siz-cnt_i$ ，同时应当考虑对于已经计算过的颜色应当标记而不重算

一个非常巧妙而优秀的做法：
首先对于每种颜色，可以统计为把这种颜色的节点全部删去，那么不同连通块之间都是能产生 $1$ 的贡献的，那么每个节点的答案应当增加 $n-$ 所在连通块大小
考虑将这一信息保存在每个连通块最浅的节点，遍历时可以方便地取用
由于每个节点只有一个父亲，那么只会存一个信息
当然，直接算会算重，那么应当记录这种颜色上一次的值为多少，进入时更改，退出时还原
对于当前联通块的大小，即为 $siz-$ 子树内这种颜色的大小之和，一遍 $dfs$ 即可

可以发现，无论哪种方法都需要对每种颜色分别处理，这种思想是关键

P3714 [BJOI2017]树的难题

可以发现这个的棘手之处在于 $max$ 操作没有加减性，于是需要不断进行结构的合并操作
假设之前子树内的所有路径信息已经维护出来，那么对当前子树的所有路径进入查询
如果路径按照从浅到深加入，那么其余的合法区间也在单调移动
那么此时对于位置来说最优性有保证，可以用单调队列维护
由于接口处答案的统计方式不同，需要对当前颜色，和不同颜色维护两个单调队列
这样发现每棵子树需要把之前深度都遍历一遍，那么把所有子树按照深度排序后来做复杂度就对了
然而目前还没有卡过去常……
另一种做法是把信息统计都线段树上然后进行合并，听着比较难写~

P4183 [USACO18JAN]Cow at Large P

考虑将牛牛初始的位置作为根，那么对于一个子树，在她跑进子树之前完成拦截即可
考虑子树内放置在最浅的叶节点一定最优，这个距离设为 $dis_u$
那么一个子树的拦截有效当且仅当 $dep_u\le dis_u$
考虑更浅的节点的有效拦截可以直接取代其子树中的所有拦截
那么放置个数= $\sum [dep_u\le dis_u\&\&dep_{fa_u}>dis_{fa_u}]$

考虑优化，发现此时表达式不满足了无根性质（即 $fa$ )
可以通过一个非常巧妙的构造来消除掉这个影响：
考虑如果将所有满足条件的（不仅仅是恰好最浅的）都产生贡献就可以消除，但是会多出来
为了将所有贡献和设为 $1$ ，将每个点的权值设为 $2-deg_u$ ，此时子树和为 $1$
公式上因为 $\sum deg_i=2m-1$ （即一条边贡献两个度数，减去最祖先上面的边）
可以理解为节点的贡献都在 $lca$ 处被消除
此时便可以当做偏序问题用点分治解决了

P2305 [NOI2014] 购票

首先的是暴力的 $dp$ ， $f_u=f_v+P_u(dis_u-dis_v)+Q_u$
唯一棘手的地方就是转移区间的限制，如果在链上可以使用 $CDQ$ 分治，在树上就使用点分治
保持树的有根性，对于每个分治中心，先去 $dp$ 中心以上的部分，那么此时子树的祖先都已经 $dp$ 完成，那么将子树中的点按照深度排好序并将祖先依次加入候选集合即可

另一个比较妙的方法是维护每个节点的出栈序，然后直接在自己和祖先的区间查询即可，此时恰好其它节点都没有加入（祖先子树要么是之前遍历不在区间中，要么是在区间中但还遍历到）

按重心转移

一类问题是要求选择树中的一个点以满足最值条件，往往可以根据性质的单调性不断跳跃至连通块重心来实现，需要满足价值函数沿着树的某个点的方向单调进行

P4886 快递员

选择取决于最长路径，所以很显然是单调的
于是先选择重心，去判断最大值在哪个儿子，此时最多只有一个更优，向那个儿子跳跃即可

CF566C Logistical Questions

有性质凸函数之和还是凸函数？
设重心在 $(u,v)$ 这条边上，离 $u$ 的距离为 $x$ ，则总贡献为 $\sum _{i\notin u} a_i(d_i+x)^{3/2}+\sum_{i\in u}a_i(d_i-x)^{3/2}$
其中 $d$ 为距 $u$ 的距离
此时的大小仍不好比较，那么考虑求导后大于零的 $v$ 是更优的，向着那个子树移动即可

类似的是幻想乡，只不过带修放在后面吧

边分治

一直以为边分治木有用，再学一边才发现其实用处大得很，只不过又难写又难调，但凡出来都是大毒瘤，写出来的概率实在太低……

先介绍一下过程：
与点分治类似，找到一条边尽量把树分得均匀，然后递归进行
但是边不具有均分性，遇到菊花就完蛋了，于是需要一个三度化的过程，类似于儿子兄弟表示法把整棵树转化为二叉树去做

然后是优缺点：
边分治的应用范围略为狭窄，要求能三度化，即新加入的边不能影响答案，比如数颜色等就不太适用了
除此之外并无缺点（~~可能难写算一个~~），其关键在于一个分治中心只对应两个子问题，于是许多 $log$ 算法的复杂度是适用的，最关键的是边分树是二叉的，允许了出题人进行可持久化、合并等一系列操作……

基础题并不多（~~好吧是我写的不多~~），大多数都是点边共用的，就不放了

CF757G Can Bash Save the Day?

询问是一个常见形式，即转化为 $dep$ 和减 $lca$ 性质，其中 $lca$ 的部分可以通过经典的到根路径加操作以及到根询问来实现，可以维护出每条边被经过的次数
具体而言，由于边分树上一个点是一条边，原树点都在叶子上，然后枚举其所有祖先，答案就是 $dis(x,i)+siz* val$ ，其中表示的是除 $x$ 以外的子树内
而询问的是一个区间，那么用主席树来维护出区间信息即可
考虑修改操作，直接把第 $x$ 棵主席树重建即可

点分树

简单而言就是根据选取重心的关系连边建树
具体实现上发现与其父亲距离可以点分治顺便算出，而不用累哼哼写个 $LCA$ 还跑得慢……
点分树上维护的信息关键都是围绕容斥本棵子树展开的
对于本质，点分树其实是对于树的一种分割方式，但是十分平衡
对于点分树上一个点只要跳父亲就可以得到树上全部的信息
但是一定注意点分树的父子关系非常弱，没有任何加减性！

P6329 【模板】点分树 | 震波

还是这个比较经典~
设 $f(i,j)$ 表示 $i$ 子树内与 $i$ 距离小于等于 $j$ 的个数
$g(i,j)$ 表示 $i$ 子树内与 $fa_i$ 距离小于等于 $j$ 的个数
那么答案就可以统计为 $f(fa_i,j)-g(i,j)$ 了
对于修改，也直接暴力跳即可
由于平衡性，类似于启发式合并的分析，点分树子树的 $siz$ 和是 $log$ 级别的，直接动态开点是可以接受的