noip 以后 CF 题选录

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Educational Codeforces Round 117

D. X-Magic Pair

发现能够凑出的数都是这样形成的：
比如 $a>b$，那么一直让 $a$ 减 $b$，如果 $a<b$ 那么交换
然后模拟 $gcd$ 的过程即可，即求 $gcd$ 的过程 $x\%b==a\%b$ 则满足条件

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E. Messages

利用期望的线性性，那么总期望等于各信的期望之和
假如目前选择 $t$ 封信，那么对于一个信的主人 $i$，如果 $k_i\ge t$，那么获得 $1$ 的期望，否则获得 $k_i/t$ 的期望
考虑 $t$ 的范围，结论是 $t\le max\{k_i\}$

证明：假设 $t$ 取 $21$ 的最有情况，即前 $21$ 大的信都有 $x$ 个人，每个人的 $k$ 都是 $20$，那么减少的为 $\frac{1}{21}F* 20x$，增加的是 $\frac{20}{21}Fx$，发现最有情况正好相等，那么意味着 $t$ 变成更大一定不优

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F. Armor and Weapons

首先暴力的想法是直接 $bfs$ 二元组 $(a,b)$
然而一个很好的条件是特殊点对的加成为 $1$，那么发现 $x$ 或 $y$ 越大一定越优
可以按照层数来 $dfs$，那么对于每层来说如果存在点对 $(x,y)$ 和 $(x',y')$，满足 $x\ge x',y\ge y'$，那么 $(x',y')$ 可以说是没有用的了
那么这样每层的状态实际上非常少，最多 $m$ 个，而 $bfs$ 到答案最多大约 $log$ 层，那么复杂度 $mlogn$

这道题启示我们进行类最短路 $bfs$ 时要尽量地对状态进行优化与剪枝

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G. Max Sum Array

首先是这样一个结论：一开始两端点一个定放个数最多的那种数，证明省略
那么就出现了可以递归的子问题，然后递归处理即可
发现出现不同方案数可能由于每一层同时有多个个数最多的数，假设有 $k$ 个
通过同样的方式可以证明摆放顺序没有关系，那么有 $(k!)^2$ 种方案
利用桶排 $O(m)$ 处理即可

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Codeforces Round 709

C. Skyline Photo

写出来 $dp$ 方程：$f[i]=max\{f[j]+b_{min\{a_i\}}\}$
发现转移是成段的，即每个 $i$ 管理一段
那么可以直接用单调栈来解决这个问题，每个单调栈里记录栈中这个元素到上一个元素之间的最优转移即可

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D. Useful Edges

首先是暴力的想法，枚举每一条边，枚举每一个三元组，如果满足 $dis[u][x]+w(x,y)+dis[y][v]\le l$ 则满足条件
移项得 $dis[u][x]+w(x,y)\le l- dis[y][v]$
两边都有的是 $u,y$，那么对于固定的 $u,y$，枚举一边更新另一边即可

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杂题

数据结构

CF1136E Nastya Hasn't Written a Legend

我也不知道正解是怎么想到这道题中的不变量的……
发现 $a_i\ge a_{i-1}+k_{i-1}\ge …… \ge a_1+sum_{i-1}$
那么设 $u_i=a_i-sum{i-1}$
那么带入得到 $u_i\ge u_{i-1}$，即是单调的
操作一相当于单点加，配合线段树上二分与区间覆盖来维护单调新
操作二相当于区间和，减去前缀和的前缀和

注意可能区间赋值为零，$lazy$ 标记要初始化为 $-inf$