背包

背包问题用于解决子集权值和问题，一般会有体积等限制

基本模型

$01$ 背包

这个似乎没啥好说的，注意倒序枚举即可

完全背包

也没啥好说的，改成正序即可

分组背包

注意枚举顺序先组，后倒序体积，最后元素

多重背包

这个直接当成分组背包做肯定是吃不消的
一般常见好写的是二进制拆分，即把那么多物品拆分成 $log$ 个

来记录一下单调队列优化的方法：
首先写出来转移方程：

f [j] = m a x_{1 \leq k \leq c} f [j - k * w] + k * v

$f[j]=max_{1\le k\le c}f[j-k*w]+k*v$

可以发现每个 $w$ 的同余系的转移是独立的，首先用前缀和转化为加法形式

即改写为 $f[j]=max(f[d+wk]-vk)+vs$ ，其中 $s-c\le k\le s$ ，典型的滑动窗口了，单调队列来维护

实现见 P1776 宝物筛选

记录一下另一个蓝书上提到的算法，用于 $O(nm)$ 运行 $bool$ 类型的多重背包问题
对于每一种物品，开一个数组 $used$ 表示到达体积 $j$ 最少用几个当前种物品，如果能从 $i-1$ 个物品转移为零

退背包

P4141 消失之物

即遵循怎么来的怎么回去
每次将 $f$ 复制到 $g$ ，然后 $g[j]-=g[j-w[i]]$ 即可，注意要正序枚举
注意 $max$ 以及可行性时均不能使用退背包

$bitset$ 优化可行性背包

注意到转移方程为 $f[j]|=f[j-a[i]]$ ，那么用 $bitset$ 优化成 $f|=f<<a[i]$
不用担心 $bitset$ 的 $RE$ 问题，会自动省略超出的部分

负体积背包

对于负体积的物品，需要改变循环顺序，因为其加减号发生了改变，那么循环顺序相当于还是保证了转移顺序

大容量背包

对于容量很大，而物品体积很小的背包，可以先贪心用性价比最高的选择到 $\prod w$ 的体积，剩余的跑暴力

例题

P1941 [NOIP2014 提高组] 飞扬的小鸟

算是藏得比较深的背包题，要学会转化

CF687C The Values You Can Make

背包问题的变形
设 $f[j][k]$ 表示和为 $j$ 且子集和为 $k$ 可不可行
那么有两种转移，即每个放入 $j$ 的数放不放入 $k$
那么 $f[j][k]|=f[j-a[i]][k-a[i]]$
以及 $f[j][k]|=f[j-a[i]][k]$

CF1442D Sum

可以发现不选完的序列最多一个
那么枚举每一个序列的前几个，和剩下的背包合并
可以发现这个并不能退背包，那么采用类似于 $CDQ$ 分治的套路，递归左区间则把右区间放入，否则放左区间

P3188 [HNOI2007]梦幻岛宝珠

大体积背包，数据范围还不能折半搜索
那必然有特殊要求啦，就是 $a\times 2^b$

考虑一位一位进行 $dp$ ，设 $f[i][j]$ 表示 $b=i$ 的物品的 $a$ 所占用 $j$ 体积的背包价值， $g[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，且相对于第 $i$ 位体积为 $j$ 的最大价值

考虑转移， $f$ 的转移很常规， $g$ 的转移：

g [i] [j] = f [i] [j - k] + g [i - 1] [2 * k + ((m >> (i - 1)) & 1)]

$g[i][j]=f[i][j-k]+g[i-1][2*k+((m>>(i-1))\&1)]$

相当于是当前位的体积过渡到下一个的过程，一个顶俩

AT4120 [ARC096D] Sweet Alchemy

考虑每次选择一个子树，只要 $c'_ i\le d$ 就可以满足次数条件
此时就变成了一个多重背包问题
可以发现体积很大而价值很小，使用一种非常神奇的方法：
对于每个物品选出 $n$ 个来跑多重背包的 $dp$ ，其余的直接性价比排序贪心来选，这样就不会带来整除对答案的影响了
其中需要交换体积和价值的下标