背包
背包问题用于解决子集权值和问题，一般会有体积等限制
基本模型
- \(01\) 背包
这个似乎没啥好说的，注意倒序枚举即可
- 完全背包
也没啥好说的，改成正序即可
- 分组背包
注意枚举顺序先组，后倒序体积，最后元素
- 多重背包
这个直接当成分组背包做肯定是吃不消的
一般常见好写的是二进制拆分，即把那么多物品拆分成 \(log\) 个
来记录一下单调队列优化的方法：
首先写出来转移方程：
可以发现每个 \(w\) 的同余系的转移是独立的，首先用前缀和转化为加法形式
即改写为 \(f[j]=max(f[d+wk]-vk)+vs\)，其中 \(s-c\le k\le s\)，典型的滑动窗口了，单调队列来维护
实现见 P1776 宝物筛选
记录一下另一个蓝书上提到的算法，用于 \(O(nm)\) 运行 \(bool\) 类型的多重背包问题
对于每一种物品，开一个数组 \(used\) 表示到达体积 \(j\) 最少用几个当前种物品，如果能从 \(i-1\) 个物品转移为零
- 退背包
即遵循怎么来的怎么回去
每次将 \(f\) 复制到 \(g\)，然后 \(g[j]-=g[j-w[i]]\) 即可，注意要正序枚举
注意 \(max\) 以及可行性时均不能使用退背包
- \(bitset\) 优化可行性背包
注意到转移方程为 \(f[j]|=f[j-a[i]]\)，那么用 \(bitset\) 优化成 \(f|=f<<a[i]\)
不用担心 \(bitset\) 的 \(RE\) 问题，会自动省略超出的部分
- 负体积背包
对于负体积的物品，需要改变循环顺序，因为其加减号发生了改变，那么循环顺序相当于还是保证了转移顺序
- 大容量背包
对于容量很大，而物品体积很小的背包，可以先贪心用性价比最高的选择到 \(\prod w\) 的体积，剩余的跑暴力
例题
算是藏得比较深的背包题，要学会转化
CF687C The Values You Can Make
背包问题的变形
设 \(f[j][k]\) 表示和为 \(j\) 且子集和为 \(k\) 可不可行
那么有两种转移，即每个放入 \(j\) 的数放不放入 \(k\)
那么 \(f[j][k]|=f[j-a[i]][k-a[i]]\)
以及 \(f[j][k]|=f[j-a[i]][k]\)
可以发现不选完的序列最多一个
那么枚举每一个序列的前几个，和剩下的背包合并
可以发现这个并不能退背包，那么采用类似于 \(CDQ\) 分治的套路，递归左区间则把右区间放入，否则放左区间
大体积背包，数据范围还不能折半搜索
那必然有特殊要求啦，就是 \(a\times 2^b\)
考虑一位一位进行 \(dp\)，设 \(f[i][j]\) 表示 \(b=i\) 的物品的 \(a\) 所占用 \(j\) 体积的背包价值，\(g[i][j]\) 表示前 \(i\) 个物品，且相对于第 \(i\) 位体积为 \(j\) 的最大价值
考虑转移，\(f\) 的转移很常规，\(g\) 的转移：
相当于是当前位的体积过渡到下一个的过程，一个顶俩
AT4120 [ARC096D] Sweet Alchemy
考虑每次选择一个子树，只要 \(c'_ i\le d\) 就可以满足次数条件
此时就变成了一个多重背包问题
可以发现体积很大而价值很小，使用一种非常神奇的方法：
对于每个物品选出 \(n\) 个来跑多重背包的 \(dp\) ，其余的直接性价比排序贪心来选，这样就不会带来整除对答案的影响了
其中需要交换体积和价值的下标
P8392 [BalticOI 2022 Day1] Uplifting Excurs
这个也是类似的问题，可以先通过贪心把值域缩小到 \(m^2\) 的 \(dp\) 范围
有负数时，可以先贪心地把负数都选上，然后最后再在做背包的时候去掉
