差分与前缀和

在处理区间问题时，差分与前缀和是一个非常有力的工具，一般而言，使用差分与前缀和要求维护信息有可减性，比如加法，而 $max$ 等不能使用
对于不好维护的区间修改问题，可以转化成两端点差分值的单点修改
对于不好维护的区间查询问题，可以转化为两端点的前缀和的单点查询
总之，使用的宗旨是让维护信息更少，更容易使用

另外，在有些构造题中操作的本质很可能是前缀和或差分值的不改变，需要仔细观察

---

差分

对于序列上的差分，需要注意的是比如区间开根和异或等也都是可以维护的
另外，一个很好用的技巧是对等差数列的维护，相当于是对于差分数组的差分，维护两个前缀，如果辅以数据结构则是区间加与区间求和，比如 这题 和 这题

P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017
这个题就是一个很明显的用差分优化区间修改问题了

---

树上差分道理也是一样，处理静态序列操作，注意是差分点还是差分边，对于 $lca$ 处是否 $-1$ 进行判断

---

P3943 星空

由于操作的是区间，那么可以先对两个串进行差分，那么一次操作变成了两个单点修改
可以跑一个背包，$dp$ 出修改相距 $i$ 的两个点需要多少步
之后状压即可

---

关于构造

P4552 [Poetize6] IncDec Sequence

区间的加减操作转化为差分数组上的一个 $+1$，另一个 $-1$，发现这样让操作变得简单起来

---

游戏

比如这个题，发现操作的本质是前缀和的交换，那么看前缀和集合是否相等即可