队列与栈

栈

栈的最基本用途可能就是表达式求值了

P1310 [NOIP2011 普及组] 表达式的值

大概捋一下转化过程
如果是左括号或乘号，直接入栈
如果是右括号，一直弹栈知道出来左括号
如果是加号，则先弹栈直到没有乘号
乘号就直接放

单调栈

单调栈是一种快速求解序列中每个位置左右第一个大于/小于自己值的位置的算法，在大部分情况下可以很好地代替笛卡尔树

具体流程省略

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P4147 玉蟾宫

把一维变成二维了而已，预处理每行上方最长连续高度即可，然后再跑最大矩形

这里再介绍一下悬线法

首先预处理 $up[i][j]$ 表示向上最大高度，即悬着的“线”
那么对于每条线只要知道左右最远能移动到的位置即可
$l[i][j]$ 和 $r[i][j]$ 就是这个左右
如果上一行这一列不是障碍，那么 $l,r$ 分别取 $min$，否则意味着开启一块新的矩形

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CF1601E Phys Ed Online

首先肯定是每个模 $k$ 同余系都单独拎出来做
答案为 $a_l+min(a_l,a_{l+1})+min(a_l,a_{l+1},a_{l+2})+\dots$
设后面第一个比 $i$ 小的位置为 $nxt_i$，则答案为 $\sum (nxt_i-i)a_i$
那么就对单调栈上的这个东西做前缀和
具体询问的时候可以发现区间内只要最后一级的值会发生变化，即最小值的位置，这个可以手动算出，其它直接前缀和相减

• 单调性相关题目中单调栈上做前缀和比较常见

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单调队列

单调队列可以用于优化如下类型的 $dp$ 转移：

$$f_i=max_{l_i\le j\le r_i}\{f_j+val(i,j)\}$$

要求 $l_i$ 和 $r_i$ 单调，且 $val(i,j)$ 之和 $i$ 与 $j$ 中的一个有关（指没有乘积项）

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下面的例子直接写出 $dp$ 方程来进行优化

• fence

$$f[i][j]=max_{j-l_i\le k\le S_i-1}{f[i-1][k]+P_i(j-k)}$$

发现 $val$ 部分只与 $k$ 有关，而当 $j$ 变大 $1$ 的时候，候选 $k$ 集合也是单调的，那么用单调队列维护即可

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• cut the sequence

$$f[i]=min_{0\le j<i\&\&\sum_{k=j+1}^i}{f[j]+max_{j+1\le k\le i}{a_k}}$$

经过证明，可以发现最优候选 $j$ 满足两个条件之一：

1. $j$ 是满足和条件的最小的
2. $j$ 比 $[j+1,i]$ 的值都大

那么可以维护一个单调递减的队列，存放所有合法的 $j$
但是注意这时 $a_j$ 最大不能代表最优转移，而是将 $f[j]+max{a_k}$ 都放入堆中，动态查询出一个最大的转移

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tricks

队列在动态最值中的应用

P2827 [NOIP2016 提高组] 蚯蚓

以这道题为例

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P7078 [CSP-S2020] 贪吃蛇

毕竟蛇与蚯蚓是类似的生物，这道题中也用到了类似的思想，详见这篇博客

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P6033 [NOIP2004 提高组] 合并果子 加强版

构建哈夫曼树的时候同样可以用这种方式代替过慢的堆

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B. 第二题

甚至跑最长路都可以用这种技巧优化

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总之用到堆并且时间挺卡的题都想想这个吧~

队列与栈的转化

棋盘

矩乘啥的都先不说了
可以发现维护出的前缀积当队首出队时贡献是不能刨去的，因为不满足交换律
那么维护两个栈，每次有插入操作直接插在第二个栈后面，有删除操作，能弹第一个就弹第一个，否则把第二个栈中所有元素拿出来放进第一个，顺便处理前缀积
这样很好地做到了矩乘顺序的倒序，而每个元素出栈一次，复杂度也得到了保证

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P1295 [TJOI2011]书架

$dp$ 方程是 $f_i=min (f_j+max[j+1,i])(\sum_{j+1}^i a\le m)$
首先合法左端点是单调的，$f$ 是单调的，$max$ 是单调的
那么合法转移点一定是 $a$ 单调的，且队列中 $f_{q_j}+a_{q_{j+1}}$ 来更新答案
那么问题是需要快速求出单调队列的最小值
可以用栈来代替队列，每次取 $mid$ 向左右构建单调栈

简要分析一下复杂度，从单调队列删除的总次数为 $n$ 次，而每一次重构以后再删除 $\frac{len}{2}$ 的长度才会重新重构，所以复杂度为 $O(n)$

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双端队列可以用于 $01$ $bfs$，对于 $0$ 边转移放在前面，$1$ 边转移放在后面即可